где – последовательные значения процентных ставок в соответствующие периоды.
Если необходимо найти количество лет для увеличения начальной суммы в N раз, то для простых процентов имеем из формулы (1.8)
; (1.17)
для сложных процентов из формулы (1.12)
, (1.18)
- (1.19)
Пример 6. Сколько лет потребуется для увеличения первоначальной суммы в 1,2 раза, если номинальная процентная ставка равна 9%, а начисление процентов происходит 4 раза в год.
Решение. По формуле (1.19) найдем необходимое число лет:
- N = 1,2; m = 4,
2 года.
Пример 7. Рассчитать накопленную сумму для различных вариантов начисления процентов за один год, два года, 5 лет. Начальная сумма равна 1000 руб., годовая процентная ставка равна 10%.
Решение. Расчет проведем по формуле (1.12) в Excel. Результаты расчетов приведены ниже в таблице и на гистограммах ниже.
Таблица 1. Наращенные суммы и множители наращения для различной частоты начисления процентов в году.
|
сумма |
Частота начислений в году |
Наращенная сумма |
Базисное наращение |
Цепное наращение |
|
|
m |
|||||
|
Начальная сумма 1000 |
1 |
1100 |
100 |
||
|
2 |
1102,5 |
102,5 |
2,5 |
||
|
4 |
1103,813 |
103,813 |
1,313 |
||
|
6 |
1104,260 |
104,260 |
0,448 |
||
|
12 |
1104,713 |
104,713 |
0,453 |
||
|
360 |
1105,171 |
105,171 |
0,458 |
|
частота начисления % |
m |
Множитель наращения |
||
|
один год |
два года |
пять лет |
||
|
раз в год |
1 |
1,1 |
1,21 |
1,61051 |
|
два раза в год |
2 |
1,1025 |
1,2155 |
1,6289 |
|
раз в квартал |
4 |
1,1038 |
1,2184 |
1,6386 |
|
ежемесячно |
12 |
1,1047 |
1,2204 |
1,6453 |
|
ежедневно |
365 |
1,1052 |
1,2214 |
1,6486 |
|
непрерывное |
1,1052 |
1,2214 |
1,6487 |
|
Рис. 1.5. Зависимость наращенной суммы и величины множителя наращения от частоты начисления процентов.
Эффективная процентная ставка.
В финансовых расчетах при анализе доходности финансовых операций часто приходится сравнивать различные виды процентных ставок, в которых выражается доходность данной конкретной финансовой операции. Например, банки предоставляют различные виды депозита с различными сроками, частотой начисления процентного дохода, различными номинальными ставками. Какой вариант выбрать? Или, например, другая задача. Вы хотите инвестировать 10000 руб. Возможны несколько вариантов: положить на депозит, купить облигации или купить акции. Эти финансовые операции также характеризуются величиной процентной ставки. Для сравнения результатов финансовых операций обычно применятся эффективная процентная ставка.
Эффективной процентной ставкой называется годичная ставка сложных процентов, дающая тот же финансовый результат: соотношение между полученной суммой за время t = T и затраченной суммой , которая получается при любой схеме выплат.
, (1.20)
, (1.21)
где Т измеряется в годах. Эффективная процентная ставка, как видно из формулы (1.21), зависит от отношения конечной и начальной сумм и от продолжительности периода начисления процентов .
Если проценты начисляются m раз в год по схеме сложных процентов, то формула (1.20) приобретает более простой вид. Действительно, из формулы (1.12), учитывая, что Т = n получим
- (1.22)
Эффективная процентная ставка позволяет сравнить доходности различных финансовых операций или, другими словами, сравнить различные методы получения процентного дохода.
Пример 8. Найти эффективную процентную ставку при ежеквартальном начислении сложных процентов. Номинальная (годовая) процентная ставка равна 18%.
Решение. r = 0,18; m = 4, , .
Сравним наращенные суммы при начислении по эффективной процентной ставке и номинальной. Пусть первоначальная сумма вклада равна 400 тыс. руб., процентная ставка равна 19,25%, срок вклада 2 года. Наращенная сумма равна
тыс. руб.
Пусть теперь та же сумма 400 тыс. руб. вносится на два года под 18% годовых с ежеквартальным начислением процентов. Наращенная сумма в этом случае равна
тыс. руб.
Наращенные суммы равны. Это означает, что наращение по эффективной процентной ставке дает тот же финансовый результат, что и наращение при ежеквартальном начислении сложных процентов по номинальной процентной ставке.
Пример 9. Предприниматель может получить ссуду: а) на условиях ежеквартального начисления сложных процентов из расчета 75% годовых, б) на условиях полугодового начисления сложных процентов из расчета 80% годовых. Какой вариант предпочесть?
Решение. Задачу можно решить двумя способами: 1) сравнить наращенные суммы, 2) сравнить эффективные процентные ставки.
1) Наращенная сумма при ежеквартальном начислении сложных процентов равна (1.12)
руб.
Наращенная сумма при полугодовом начислении сложных процентов равна (1.12)
m = 2;
- ; 196000 руб.
Наращенная сумма при сложной процентной ставке с начислением два раза в год меньше и для предпринимателя ссуда по варианту б) выгоднее, поскольку меньше возвращаемая сумма.
2) Найдем эффективную процентную ставку для варианта а): m = 4; r = 0,75; 0,9885 (98,85%); для варианта б) m = 2; r = 0,80; 0,96 (96,0%).
Несмотря на то, что величина номинальной процентной ставки в 75,0% меньше, чем 80,0%, эффективная ставка меньше во втором случае. Этот пример показывает, что в данном случае, на величину наращенной суммы сильное влияние оказывает частота начисления процентов, и делать вывод о предпочтительности одного способа ссуды по сравнению с другим просто на сравнении величин номинальных ставок неверно.
1.4. Дисконтирование и наращение по процентной и учетной
ставкам.
Часто при выдаче кредита необходимо найти первоначальную сумму при известной конечной сумме . В зависимости от вида процентной ставки используют два типа дисконтирования. Дисконтирование по процентной ставке r называется математическое дисконтированием, а дисконтирование по учетной ставке d называется банковским дисконтированием. Для того, чтобы различать далее формулы для банковского и математического дисконтирования или наращения, далее будем использовать следующие обозначения:
- начальная и наращенная сумма по процентной ставке ;
- начальная и наращенная сумма по учетной ставке .
Математическое дисконтирование.
Начальная сумма , которая выдается в кредит, находится из формул наращения для простых и сложных процентов (1.8-1.9) и (1.10; 1.12):
для простых процентов , (1.31)
для сложных процентов с начислением процентов m раз в году , (1.32)
для непрерывных процентов . (1.33)
Сумма — это начальная сумма, а — наращенная (будущая) сумма. Индекс t обозначает временной интервал, для которого рассчитывается наращенная сумма. Например, при ежегодном начислении простых процентов в течении n лет t = n.
Банковское дисконтирование.
При банковском4 дисконтировании, так же как и при математическом дисконтировании, требуется найти начальную сумму, выданную в кредит при известной сумме погашения кредита через период t. Процентный доход за кредит выплачивается сразу при выдаче суммы кредита, которая меньше на величину наращенных процентов, рассчитанных по учетной ставке d. Рассмотрим виды банковского дисконтирования.
Дисконтирование по простой учетной ставке. Учет векселя
При простой ставке дисконтирования d за n периодов дисконтирования начальная сумма равна
- (1.34)
Дисконтирование по простой учетной ставке применяется для краткосрочных кредитов. Коммерческий кредит – это предоставление товаров и услуг с оплатой через определенное время. Условия оплаты кредита весьма разнообразны. Распространенным инструментом коммерческого кредита является коммерческий вексель. Процедура учета векселя (дисконтирования) заключается в продаже его векселедержателем банку или другому субъекту по цене ниже номинальной стоимости векселя. Сумма, выдаваемая банком держателю векселя при учете по простой учетной ставке d за периодов дисконтирования равна
, (1.35)
где — номинал векселя, или сумма, которую должен получить векселедержатель при его погашении через время Т – число дней, оставшееся до погашения векселя, d –учетная ставка или величина дисконта ( процента), по которой банк или другое лицо приобрело вексель у векселедержателя до срока его погашения, – сумма, которую получит векселедержатель при досрочном погашении, – временная база обычно равная 360 дней. Учетная ставка должна учитывать риски, связанные с погашением векселя и комиссионные, которые банк собирается получить. Дисконт при учете векселя равен . Формула (1.35) применяется, если .
Дисконтирование по сложной учетной ставке.
Начальная (дисконтированная) сумма при дисконтировании (учете) по сложной учетной d ставке, если учетная ставка за n периодов не меняется равна
, (1.36)
где – сумма в конце n-го периода, d – четная ставка за период.
Если дисконтирование проводится m раз в год, то дисконтированная сумма равна
, (1.37)
где d – годовая учетная ставка, которая называется номинальной учетной ставкой.
При непрерывном дисконтировании по учетной ставке дисконтированная сумма равна
- (1.38)
Пример 11. Фирма продала товар на условиях коммерческого кредита с оформлением простого векселя номинальной стоимостью 2,5 млн. руб., сроком 60 дней. Через 45 дней фирма решила учесть вексель в банке. Предложенная банком учетная ставка равна 12%. Найти сумму, полученную векселедержателем и дисконт.
Решение. При учете векселя банком владелец векселя получит сумму (1.34) равную
млн. руб.
Дисконт равен , или ; млн. руб.
Существуют другие способы учета векселей, например, по методу математического дисконтирования (1.31).
Владелец векселя в этом случае получит сумму равную = 2,487562 млн.руб.
Дисконт равен руб. Как видно, при учете векселя по методу математического дисконтирования величина дисконта меньше. В зависимости от условий кредитования возможны различные варианты учета векселей. Эти задачи рассмотрены ниже.
Наращение по учетной ставке.
Наращенная сумма по учетной ставке d легко находится из формул дисконтирования для учетной ставке (1.35.-1.37).
Наращенная сумма
для простой учетной ставки равна , (1.39)
для сложной учетной ставки с начислением m раз в году . (1.40)
Для операций наращения важным является также момент начисления процентов. Начисление процентов может в начале периода начисления или в конце периода начисления. Подробнее эти методы описаны в гл.2. Декурсивный (последующий) метод – начисление процентов происходит в конце расчетного периода. При этом наращенная сумма рассчитывается по процентной ставке r по формулам (1.8-1.13).
Антисипативный (предварительный) метод – начисление процентов происходит в начале расчетного периода на сумму, которую следует вернуть, наращенная сумма рассчитывается по учетной ставке d (1.39; 1.40).
Пример 12. Срочный вклад в размере 800 тыс. руб. положен в банк на 2,5 года. На вклад начисляются сложные проценты по учетной ставке d = 15% годовых . Рассчитать наращенную сумму по двум методам а) декурсивному , б) антисипативному.
Решение. Наращенная сумма по декурсивному методу находится по формуле (1.35)
= тыс. руб.
Наращенная сумма по антисипативному методу находится по формуле (1.39)
==1201тыс. руб.
Как видно, при антисипативном способе начисления процентов наращенная сумма больше.
