МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Особенностью современных технологических процессов любой природы является их большая сложность. Эта сложность проявляется в значительном числе параметров, определяющих течение процесса, в большом числе внутренних связей между параметрами и их взаимном влиянии. Для исследования свойств таких сложных систем широко применяют различного рода модели.
Математическое моделирование объектов управления
Под моделью понимают такой материально или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал и отражает отдельные, ограниченные в нужном направлении стороны явления рассматриваемого процесса. Модели могут быть реализованы с помощью физических, реально существующих объектов (физические модели) или с помощью абстрактных объектов. Абстрактной моделью могут быть математические выражения, описывающие характеристики объекта моделирования. Таким образом, математическая модель – это приближенное отображение моделируемой системы с помощью уравнений и ограничивающих условий. Математическое описание основывается на физических, химических, энергетических и других закономерностях. Во многих случаях построение модели начинается с использования основных физических законов (законов Ньютона, Максвелла или Кирхгофа, законов сохранения энергии и импульса, законов перераспределения тепла и энтропии и т.д.) для математического описания исследуемого объекта, являющегося, например, механическим, электрическим или термодинамическим процессом.
Рассмотрим примеры построения математических моделей различных объектов.
Пример 1. Электрическая система представляет собой RC-схему, в которой за входное воздействие принято напряжение , а за выходной сигнал – напряжение (рисунок 2.1).
Ток в цепи определяется током через конденсатор:
Рисунок 2.1 – RC-схема
По закону Кирхгофа справедливо следующее соотношение:
Обозначая , получим дифференциальное уравнение 1-го порядка, описывающее поведение рассматриваемой электрической системы:
- (2.1)
Пример 2. Гидравлическая система представляет собой емкость цилиндрической формы, в которую поступает жидкость с объемной скоростью . Площадь основания емкости – , высота слоя жидкости – (рисунок 2.2).
Рисунок 2.2 – Гидравлическая емкость
Модель технического объекта
... системный. Описательный метод предусматривает конкретное теоретическое исследование модели технического объекта с позиций сущности и развития. С помощью этого метода исследуются важнейшие проблемы изучения моделирования ... состоятельные – истинные по Клиначёву Н.В., – опирающиеся на физические законы, характеризующие объект управления в области их применимости. 3. Аппроксимации – ложные по Клинач ...
Изменение объема жидкости в емкости определяется соотношением
где – объем жидкости.
Учитывая, что объем цилиндра определяется по соотношению
уравнение, описывающее изменение уровня жидкости в рассматриваемой емкости примет вид:
- (2.2)
Пример 3. Гидравлическая система представляет собой емкость цилиндрической формы, в которую поступает жидкость с объемной скоростью и вытекает через отверстие в днище площадью с объемной скоростью . Площадь основания емкости – , высота слоя жидкости – (рисунок 2.3).
Рисунок 2.3 – Гидравлическая емкость со стоком
В данном случае изменение объема жидкости в емкости будет определяться разностью объемных скоростей подачи и истечения жидкости:
При равенстве притока и стока жидкости в системе будет наблюдаться стационарный режим, соответствующий постоянному уровню жидкости .
Учтем, что скорость истечения жидкости зависит от высоты слоя жидкости в емкости по соотношению
где – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств жидкости, ускорения свободного падения и площади отверстия в днище.
В итоге поведение рассматриваемой системы будет описываться нелинейным дифференциальным уравнением следующего вида:
- (2.3)
схемы систем автоматического управления
В общем случае порядок исследования САУ включает математическое описание системы и изучение ее переходных и установившихся режимов. Получение математической модели начинается с разбиения системы на звенья и описания этих звеньев. При рассмотрении принципа действия систем автоматического управления в п. 1.1 было дано понятие о функциональной схеме САУ (см. рисунок 1.2), где разбиение системы на звенья проводилось с учетом выполняемых ими функций, то есть с учетом их назначения. Для математического описания систему разбивают на звенья по другому принципу, а именно – исходя из удобства получения этого описания. Для этого систему следует разбить на возможно более простые звенья, обладающие свойством направленного действия.
Звеном направленного действия называют звено, передающее воздействие только в одном направлении – со входа на выход, так что изменение состояния такого звена не влияет на состояние предшествующего звена, работающего на его вход. Соответственно математическое описание всей системы в целом может быть получено как совокупность составленных независимо друг от друга уравнений или характеристик отдельных звеньев, образующих систему, дополненных уравнениями связи между звеньями.
В результате разбиения САУ на звенья направленного действия и получения математического описания отдельных звеньев составляется структурная схема системы, которая и является ее математической моделью.
Структурная схема САУ характеризует геометрию системы, то есть показывает, из каких элементов состоит система и как эти элементы связаны между собой. На схеме указывают прямоугольники, изображающие звенья, и пути распространения сигналов в системе в виде стрелок, соединяющих входы и выходы звеньев. Каждому звену структурной схемы придается описывающая его характеристика (передаточная функция), которая обычно записывается прямо внутри изображающего звено прямоугольника (рисунок 2.4).
Рисунок 2.4 – Структурная схема САУ
Получение структурной схемы является конечной целью математического описания системы автоматического управления.
Преобразование Лапласа
В настоящее время под операционным исчислением понимают совокупность методов прикладного математического анализа, позволяющих экономными средствами получать решения линейных дифференциальных уравнений, а также разностных и некоторых типов интегральных уравнений.
Операционное исчисление нашло широкое применение в теории автоматического регулирования, где с его помощью производится анализ переходных и установившихся процессов в автоматических системах. Сущность операционного метода заключается в использовании прямого преобразовании Лапласа (ППЛ), которое некоторой функции действительной переменной ставит в соответствие функцию комплексной переменной :
, (2.4)
где – переменная (множитель) Лапласа.
Условием существования преобразования Лапласа является сходимость интеграла в правой части равенства (2.4).
Минимальное значение параметра , при котором данный интеграл сходится, носит название абсциссы сходимости.
Обратное преобразование Лапласа (ОПЛ) имеет вид:
- (2.5)
Функция носит называние оригинала, а функция – изображения.
Для пары преобразований Лапласа используется также операторная форма записи:
и
где L – оператор Лапласа.
Вычисление интегралов (2.4), (2.5) для некоторых видов функций может оказаться трудным или громоздким, поэтому для упрощения расчетов используют таблицы соответствий «оригинал–изображение» (таблица 1).
Таблица 1 – Таблица оригиналов и их изображений ( – const)
|
Оригинал |
Изображение F(p) |
Свойства преобразования Лапласа:
1. Изображение суммы функций равно сумме изображений отдельных функций:
2. Временному запаздыванию функции в области оригиналов соответствует умножение ее изображения на множитель , где
- время запаздывания:
3. При нулевых начальных условиях дифференцирование в области оригиналов соответствует в области изображений умножению изображения функции на переменную Лапласа в степени, соответствующей порядку производной:
при условии, что , и т.д.
При ненулевых начальных условиях правило расчета изображения для производной 1-го порядка имеет вид:
4. Интегрирование в области оригиналов соответствует делению на переменную Лапласа в области изображений:
5. Постоянная величина выносится за знак преобразования:
, где .
6. По виду изображения можно судить о начальном (при ) и предельном (при ) значениях оригинала (теоремы о начальном и конечном значениях):
и .
С помощью преобразования Лапласа существенно упрощается процедура решения дифференциальных или интегродифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Выделяют следующие этапы решения:
1) преобразование заданного дифференциального уравнения по Лапласу, учитывая при этом начальные условия (то есть переход из области оригиналов в область изображений);
2) решение полученного алгебраического уравнения относительно изображения;
3) переход от изображения решения к его оригиналу (например, с помощью таблиц преобразования Лапласа).
Пример 4. Решить операторным методом Лапласа следующее дифференциальное уравнение (при нулевых начальных условиях):
Выполним прямое преобразование Лапласа над исходным уравнением:
Учитывая 1-е свойство преобразования Лапласа, получим в левой части уравнения два слагаемых:
Применив 3-е и 5-е свойства к первому слагаемому в левой части уравнения и используя таблицу преобразований Лапласа для элемента в правой части уравнения, получим следующий результат:
Далее решим уравнение относительно изображения:
откуда по таблице преобразований Лапласа находим решение исходного дифференциального уравнения:
Применение преобразования Лапласа в теории автоматического управления связано с важнейшим понятием – передаточной функцией системы, относящейся к одной из основных характеристик САУ.
Основные характеристики систем автоматического управления
Динамические свойства линейных звеньев и систем автоматического управления могут быть описаны уравнениями или графическими характеристиками. В теории автоматического управления применяют два типа таких характеристик – частотные и временные (переходные).
Эти характеристики могут быть сняты экспериментально или построены по уравнению звена. Имеется и обратная возможность – по экспериментально полученным характеристикам составить уравнение звена. Кроме того, с помощью этих характеристик можно определить реакцию звена на любое возмущение произвольного вида.Таким образом, частотные и временные характеристики однозначно связаны с уравнением звена и наряду с ним являются исчерпывающим описанием динамических свойств звена.
К частотным характеристикам относятся передаточная функция системы и непосредственно частотная характеристика, к временным – переходная функция и импульсная характеристика.
Передаточная функция
Рассмотрим отдельное звено САУ, на вход которого поступает воздействие , а на выходе формируется сигнал (рисунок 2.5).
Рисунок 2.5 – Динамическое звено САУ
Если для сигналов , существует преобразование Лапласа
и ,
то передаточная функция звена определяется как отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению по Лапласу входного сигнала при нулевых начальных условиях:
- (2.6)
Зная передаточную функцию звена и изображение входного воздействия , можно найти изображение выходного сигнала звена по соотношению:
- (2.7)
Далее, переходя от изображения к оригиналу , получают процесс изменения выходного сигнала звена при приложении к нему входного воздействия.
Для решения аналогичной задачи при ненулевых начальных условиях сначала требуется получить выражение для изображения выходного сигнала путем
Таким образом, передаточная функция полностью характеризует динамические свойства системы и поэтому является ее важнейшей характеристикой. Зная передаточную функцию системы, можно определить процесс изменения выходной координаты системы при наличии входного воздействия и заданных начальных условиях.
Пример 5. Вывести выражение для передаточной функции звена, описываемого дифференциальным уравнением
при нулевом начальном условии:
Выполним над дифференциальным уравнением преобразование Лапласа:
откуда найдем передаточную функцию звена по соотношению (2.6):
Преобразование структурных схем САУ. Отдельные звенья САУ могут быть соединены друг с другом в различных комбинациях. Зная передаточные функции звеньев, образующих сложную систему c заданной структурной схемой, можно получить передаточную функцию системы в целом, учитывая следующие правила преобразования.
1) При последовательном
В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из двух последовательно соединенных звеньев с известными передаточными функциями (рисунок 2.6).
Рисунок 2.6 – Последовательное соединение звеньев
Учитывая соотношение (2.7), запишем изображения выходных сигналов каждого из звеньев:
По определению передаточной функции системы (пунктир на рисунке 2.6) получим:
- (2.8)
2) При параллельном соединении звеньев их передаточные функции складываются.
В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из двух параллельно соединенных звеньев с известными передаточными функциями (рисунок 2.7).
Рисунок 2.7 – Параллельное соединение звеньев
Запишем изображения выходных сигналов каждого из звеньев и системы в целом (пунктир на рисунке 2.7):
Таким образом, передаточная функция системы определится как
- (2.9)
3) Замкнутая система (система с обратной связью).
Выведем выражение для передаточной функции замкнутой системы, для которой известны передаточные функции разомкнутой системы и обратной связи (рисунок 2.8).
- передаточная функция разомкнутой системы;
- передаточная функция обратной связи
Рисунок 2.8 – Система с обратной связью
Запишем изображение выходного сигнала разомкнутой системы:
где ,
Осуществляя подстановку, получим:
или
Обозначим передаточную функцию замкнутой системы (пунктир на рисунке 2.8) через , тогда конечная формула примет вид:
- (2.10)
Передаточная функция любого звена или системы в целом может быть представлена в виде отношения двух полиномов:
- (2.11)
Корни полинома в числителе выражения (2.11) носят название нулей передаточной функции, корни полинома в знаменателе – полюсов передаточной функции
