Случайные погрешности и способы их уменьшения

метки: Случайный, Погрешность, Распределение, Нормальный, Результат, Интервал, Вероятность, Оценка

Начиная с производства строительных материалов и заканчивая возведением зданий и сооружений, в строительстве используются измерения различных видов.

Процесс измерения неизбежно сопровождается ошибками, которые вызываются несовершенством измерительных средств, нестабильностью условий проведения измерений, несовершенством самого метода и методики измерений и многими другими факторами.

Основная цель данного реферата — проанализировать и выявить наиболее точные способы уменьшения случайных погрешностей измерений. Для этой цели необходимо метрологическое обеспечение, т.е. установление и применение научных и организационных основ, технических средств, правил и норм, необходимых для достижения единства и требуемой точности измерений.

Техническими основами метрологического обеспечения являются: система государственных эталонов единиц физических величин, система передачи размеров единиц физических величин от эталона всем средствам измерений, система разработки, постановки на производство и выпуска рабочих средств измерений, система обязательных государственных испытаний средств измерений, система стандартных образцов состава свойств веществ и материалов.

В соответствии с данной целью определены следующие задачи: раскрыть понятие и классификацию погрешностей измерений; описать способы уменьшения случайных погрешностей.

Тема реферата «Случайные погрешности и способы их уменьшения» является актуальной, т.к. чем качественнее будет строительный материал (конструкция), тем он будет более конкурентноспособен на отечественном и мировом рынках. Определяющим условием выбора для потребителей в последнее время всё больше становится качество. Качеством продукции необходимо управлять, уметь количественно оценивать и анализировать его показатели, варьировать влияющими на него процессами.

1. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

1.1 Возникновения случайных погрешностей

Случайная погрешность — составляющая погрешности измерения, измеряющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии повторных измерений одного и того же размера физической величины, проведенных с одинаковой тщательностью в одних и тех же условиях.

Факторы, определяющие возникновения случайных погрешностей, проявляются нерегулярно, в различных комбинациях и с интенсивностью, которую трудно предвидеть.

Часто случайные погрешности возникают из-за одновременного действия многих независимых причин, каждая из которых в отдельности слабо влияет на результат измерения. По этой причине часто полагают распределение случайной погрешности «нормальным» (Центральная предельная теорема).

Технологии разработки программных систем на основе CASE средств

... 2 Применения CASE технологий: преимущества и недостатки CASE-технология представляет собой совокупность методологий анализа, проектирования, разработки и сопровождения сложных систем и поддерживается комплексом взаимоувязанных средств автоматизации. CASE-технология - это инструментарий ...

«Нормальность» позволяет использовать в обработке данных весь арсенал математической статистики.

Однако априорная убежденность в «нормальности» на основании ЦПТ не согласуется с практикой — законы распределения ошибок измерений весьма разнообразны и, как правило, сильно отличаются от нормального.

Случайные погрешности могут быть связаны с:

• несовершенством приборов (трение в механических приборах и т. п.),
• тряской в городских условиях,
• несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления).

Основным документом для обеспечения качества измерений, обеспечения единства измерений является Федеральный закон от 26.06.2008 № 102-ФЗ (ред. от 13.07.2015) «Об обеспечении единства измерений». Глава 2. Требования к измерениям, единицам величин, эталонам единиц величин, стандартным образцам, средствам измерений. Статья 5.Требования к измерениям.

Допускает применение результатов измерений, выраженных в единицах величин только на территории Российской Федерации.

1.2 Свойства случайных погрешностей

Случайные погрешности характеризуются следующими свойствами.

1) При определенных условиях измерений случайные погрешности по абсолютной величине не могут превышать известного предела, называемого предельной погрешностью. Это свойство позволяет обнаруживать и исключать из результатов измерений грубые погрешности.

2) Положительные и отрицательные случайные погрешности примерно одинаково часто встречаются в ряду измерений, что помогает выявлению систематических погрешностей.

3) Чем больше абсолютная величина погрешности, тем реже она встречается в ряду измерений.

В соответствии с первым свойством случайных погрешностей для абсолютной величины случайной погрешности при данных условиях измерений существует допустимый предел, называемый предельной погрешностью. В строительных нормах предельная погрешность называется допускаемым отклонением.

Последнее свойство случайных погрешностей позволяет установить принцип получения из ряда измерений одной и той же величины результата, наиболее близкого к ее истинному значению, т. е. наиболее точного. Таким результатом является среднее арифметическое из п измеренных значений данной величины.

Для правильного использования результатов измерений необходимо знать, с какой точностью, т.е. с какой степенью близости к истинному значению измеряемой величины, они получены. Характеристикой точности отдельного измерения в теории погрешностей служит предложенная Гауссом средняя квадратическая погрешность.

1.3 Описание случайных погрешностей с помощью функции распределения

Интегральной функцией распределения F(x) называют функцию, значение которой для каждого x является вероятность появления значений (в i-м наблюдении), меньших x:

где Р — символ вероятности события, описание которого заключено в фигурных скобках.

Обычно график интегральной функции распределения результатов наблюдений представляет собой непрерывную неубывающую кривую, начинающуюся от нуля на отрицательной бесконечности и асимптотически приближающуюся к единице при увеличении аргумента до плюс бесконечности.

Измерение электрических величин

... от электрические измерения 10мкс до электрические измерения 1 мс. Параллельные АЦП - самые быстродействующие, но и наименее точные: их время преобразования порядка 0,25 нс, погрешность - от 0,4 до 2%. Методы ... Вторые снабжены цифровым дисплеем, который показывает измеренное значение величины в виде числа. Цифровые приборы в большинстве измерений более предпочтительны, так как они более точны, ...

Если интегральная функция имеет точку перегиба при значении x, близком к истинному значению измеряемой величины, и принимает в этой точке значение, равное 0, 5, то говорят о симметричности распределения результатов.

Более наглядным является описание свойств результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности, с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей:

Поскольку F(x = +) = 1, то , т.е. площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице. Вероятность попадания случайной величины х в заданный интервал ( равна площади, заключенной между абсциссами и :

• При бесконечном увеличении числа наблюдений n>? и бесконечном уменьшении ширины интервалов ?l>0, ступенчатая кривая, огибающая гистограмму, перейдет в плавную кривую f (x) (рис. 1), называемую кривой плотности распределения вероятностей случайной величины, а уравнение, описывающее ее, — дифференциальным законом распределения. Кривая плотности распределения вероятностей всегда неотрицательна и подчинена условию нормирования в виде

Рис.1. Кривая плотности распределения вероятностей

Закон распределения дает полную информацию о свойствах случайной величины и позволяет ответить на поставленные вопросы о результате измерения и его случайной погрешности.

Следовательно, рассмотренное выше условие нормирования означает, что вероятность попадания величины х в интервал [- ?; + ?] равна единице, т.е. представляет собой достоверное событие.

Вероятность этого события называется функцией распределения случайной величины и обозначается F(x).

Функцию распределения F(x) иногда называют также интегральной функцией распределения. В терминах интегральной функции распределения имеем

То есть вероятность попадания результата наблюдений или случайной погрешности в заданный интервал равна разности значений функции распределения на границах этого интервала.

Рис. 2. Кривая плотности распределения вероятностей (дифференциальная функция распределения случайной величины).

1.4 Оценка случайных погрешностей. Доверительная вероятность и доверительный интервал

случайный погрешность измерение интервал

Для количественной оценки случайных погрешностей и установления границ случайной погрешности результата измерения могут использоваться: предельная погрешность, интервальная оценка, числовые характеристики закона распределения. Выбор конкретной оценки определяется необходимой полнотой сведений о погрешности, назначением измерений и характером использования их результатов. Комплексы оценок показателей точности установлены стандартами.

Предельная погрешность ? _m — погрешность, больше которой в данном измерительном эксперименте не может появиться. Теоретически, такая оценка погрешности правомерна только для распределений, границы которых четко выражены и существует такое значение ± ?_m , которое ограничивает возможные значения случайных погрешностей с обеих сторон от центра распределения (например, равномерное).

На практике такая оценка есть указание наибольшей погрешности, которая может встретиться при многократных измерениях одной и той же величины.

Недостатком такой оценки является то, что она не содержит информации о характере закона распределения случайных погрешностей. При арифметическом суммировании предельных погрешностей получаемая сумма может значительно превышать действительные погрешности.

Более универсальными и информативными являются квантильные оценки. Площадь, заключенная под всей кривой плотности распределения погрешностей, отражает вероятность всех возможных значений погрешности и по условиям нормирования равна единице. Эту площадь можно разделить вертикальными линиями на части. Абсциссы таких линий называются квантилями.

Так, на рис. 3 ?x ₁ , есть 25% -ная квантиль, так как площадь под кривой f (?x) слева от нее составляет 25% всей площади. Абсцисса ?x₂ соответствует 75%-ной квантили. Между ?x₁ , и ?x₂ заключено 50% всех возможных значений погрешности, а остальные лежат вне этого интервала.

Рис. 3 Квантильные оценки случайной величины

Квантильная оценка погрешности представляется интервалом от -?x(P) до +?x(P), на котором с заданной вероятностью С встречаются СЧ100% всех возможных значений случайной погрешности. Интервал с границами ± ?x(P) называется доверительным интервалом случайной погрешности, между границами которого с заданной доверительной вероятностью

где q — уровень значимости;

х _Н , х_В — нижняя и верхняя границы интервала, находится истинное значение оцениваемого параметра.

Принято границы доверительного интервала (доверительные границы) указывать симметричными относительно результата измерения. В метрологической практике используют главным образом квантильные оценки доверительного интервала. Под Р-процентным квантилем x _P понимают абсциссу такой вертикальной линии, слева от которой площадь под кривой плотности распределения равна Р %. Иначе говоря, квантиль — это значение случайной величины (погрешности) с заданной доверительной вероятностью Р.

Так как квантили, ограничивающие доверительный интервал по- грешности могут быть выбраны различными, то при оценивании случайной погрешности доверительными границами необходимо одновременно указывать значение принятой доверительной вероятности (например, ±0, 3 В при С = 0, 95).

Доверительные границы случайной погрешности ?x(P), соответствующие доверительной вероятности Р, находят по формуле

где t — коэффициент, зависящий от С и формы закона распределения.

Рис. 4. К понятию доверительных интервалов

На графике нормального распределения погрешностей (рис. 4) по оси абсцисс отложены интервалы с границами ±у, ±2у, ±3у, ±4у. Доверительные вероятности для этих интервалов приведены в табл. 1.

Таблица 1. Границы доверительных интервалов и соответствующие им доверительные вероятности

t у	P
±1у	0, 68
±2у	0, 95
±3у	0, 997
±4у	0, 999

Как видно из этой таблицы, оценка случайной погрешности группы наблюдений интервалом ±1у соответствует доверительной вероятности 0, 68. Такая оценка не дает уверенности в высоком качестве измерений, поскольку 32% от всего числа наблюдений может выйти за пределы указанного интервала, что совершенно неприемлемо при однократных измерениях и дезинформирует потребителя измерительной информации. Доверительному интервалу ±3у соответствует С = 0, 997. Это означает, что практически с вероятностью очень близкой к единице ни одно из возможных значений погрешности при нормальном законе ее распределения не выйдет за границы интервала. Поэтому, при нормальном распределении погрешностей, принято считать случайную погрешность с границами ±3у предельной (максимально возможной) погрешностью. Погрешности, выходящие за эти границы, классифицируют как грубые или промахи.

В целях единообразия в оценивании случайных погрешностей интервальными оценками при технических измерениях доверительная вероятность принимается равной 0, 95. Лишь для особо точных и ответственных измерений (важных, например, для безопасности и здоровья людей) допускается применять более высокую доверительную вероятность.

Итак, для получения интервальной оценки многократных наблюдений нормально распределенной случайной величины необходимо:

• определить точечные оценки МО и СКО случайной величины по формулам (2.12) и (2.15) соответственно;
• выбрать доверительную вероятность Р из рекомендуемого ряда значений 0, 90;
• 0, 95;
• 0, 99;

• найти верхнюю x _В и нижнюю x_Н границы в соответствии с уравнениями

F(x _Н ) = q / 2 =1- P/ 2 и F(x_В ) =1- q / 2 =1+ P / 2.

Значения x _Н и x_В определяются из таблиц значений интегральной функции распределения F(t) или функции Лапласа Ф(t).

Полученный доверительный интервал удовлетворяет условию

где n — число измеренных значений;

z _p — аргумент функции Лапласа Ф(t), отвечающей вероятности Р/2.

В данном случае z _р называется квантильным множителем. Половина длины доверительного интервала называется доверительной границей погрешности результата измерений.

При отличии закона распределения случайной величины от нормального необходимо построить его математическую модель ММ и определять доверительный интервал с ее использованием. Рассмотренный способ нахождения доверительных интервалов справедлив для достаточно большого числа наблюдений n, когда у = S _x . Следует помнить, что вычисляемая оценка СКО S_x является лишь некоторым приближением к истинному значению у. Определение доверительного интервала при заданной вероятности оказывается тем менее надежным, чем меньше число наблюдений.

Расчет доверительных интервалов для случая, когда распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неизвестна, т.е. при малом числе наблюдений n, можно выполнить с использованием распределения Стьюдента S(t, k ).

Оно описывает плотность распределения отношения (дроби Стьюдента):

где Q — истинное значение измеряемой величины.

Величины вычисляются на основании опытных данных и представляют собой точечные оценки МО, СКО результатов измерений и СКО среднего арифметического значения.

Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале [- t _р ; + t_р ],

где k — число степеней свободы, равное (n-1).

Величины t _p (называемые коэффициентами Стьюдента), рассчитанные с помощью двух последних формул для различных значений доверительной вероятности и числа измерений, табулированы. Следовательно, с помощью распределения Стьюдента можно найти вероятность того, что отклонение среднего арифметического от истинного значения измеряемой величины не превышает

где е — половина длины доверительного интервала, или доверительная граница погрешности измерений.

В тех случаях, когда распределение случайных погрешностей не является нормальным, все же часто пользуются распределением Стьюдента с приближением, степень которого остается неизвестной. Распределение Стьюдента применяют при числе измерений n < 30, поскольку уже при n = 20, K, 30 оно переходит в нормальное и вместо уравнения (2.24) можно использовать уравнение. Результат измерения записывается в виде:

где Р _Д — конкретное значение доверительной вероятности.

Множитель t при большом числе измерений n равен квантильному множителю z _р . При малом n он равен коэффициенту Стьюдента.

Полученный результат измерения не является одним конкретным числом, а представляет собой интервал, внутри которого с некоторой вероятностью P _Д находится истинное значение измеряемой величины. Выделение середины интервала вовсе не предполагает, что истинное значение находится ближе к нему, чем к остальным точкам интервала. Оно может находится в любом месте интервала, а с вероятностью 1 — P_Д даже вне его.

Недостатком оценивания случайной погрешности доверительным интервалом при произвольно выбираемых доверительных вероятностях является невозможность суммирования нескольких погрешностей, так как доверительный интервал суммы не равен сумме доверительных интервалов. В то же время необходимость в суммировании случайных погрешностей существует, когда нужно оценить погрешность суммированием ее составляющих, подчиняющихся к тому же разным законам распределения. В теории вероятностей показано, что суммирование статистически независимых случайных величин осуществляется путем суммирования их дисперсий

Формула правомерна только для некоррелированных случайных величин. В том случае, когда суммируемые составляющие погрешности коррелированны, расчетные соотношения усложняются, так как требуется учет корреляционных связей. Методы выявления корреляционных связей и их учет являются предметом изучения в теории вероятностей.

Рассмотренные свойства распределений следует понимать как «идеальные», полученные на основе бесконечно большого числа опытов. В реальных условиях результат измерения получают либо путем обработки ограниченной группы наблюдений, либо на основе однократного измерения. Правила обработки данных для получения оценок результата и погрешности статистических измерений определены стандартами Государственной системы обеспечения единства измерений.

2. СПОСОБЫ УМЕНЬШЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

2.1 Метод многократных измерений

Алгоритм обработки результатов многократных измерений.

1. Проводят n наблюдений (единичных измерений) и фиксируют n результатов измерений одного и того же значения физической величины x1′, x2’…, xn’;

2. Исключают известные систематические погрешности результатов измерений и получают исправленный результат x1, x2…xn;

3. Находят среднее арифметическое значение исправленных результатов и принимают его за результат измерений:

4. Вычисляют оценку среднеквадратического отклонения результата измерений:

4.1Находят отклонение от среднего арифметического

…

4.2 Проверяют правильность вычислений и если они верны, то сумма отклонений равна нулю,

4.3 Вычисляют квадраты отклонений от среднего , …

4.4 Определяют оценку среднеквадратического отклонения:

4.5 Находят значение относительной среднеквадратической случайной погрешности:

5.Вычисляют оценку среднеквадратического отклонения результата измерения:

6. Проверяют гипотезу о том, что распределение результатов измерения гауссовское (нормальное).

7. вычисляют доверительные границы случайной погрешности результатов измерений:

а) задаются коэффициенты доверия б (доверительной вероятности),

б) по специальным таблицам определяют значение коэффициента в, соответствующее заданной доверительной вероятности и числу наблюдений,

в) находят значение

г) вычисляют доверительные границы ,

д) определяют доверительный интервал г=2д,

8. Записывают результат измерений.

Метод многократных измерений позволяет существенно повысить достоверность результатов даже при влиянии помех различной физической природы и нестабильности режимов работы оборудования.

2.2 Метод косвенных измерений

Обработка результатов косвенных измерений.

Пусть искомая физическая величина y связана с другими величинами x ₁ , x₂ , … x_k некоторой функциональной зависимостью

y=f(x ₁ , x₂ , … x_k )

Среди величин x ₁ , x₂ , … x_k имеются величины, полученные при прямых измерениях, и табличные данные. Требуется определить абсолютную Dy и относительную e погрешности величины y.

В большинстве случаев проще сначала вычислить относительную погрешность, а затем — абсолютную. Из теории вероятностей относительная погрешность косвенного измерения

Здесь , где — частная производная функции по переменной x _{i ,} при вычислении которой все величины, кроме x_i , считаются постоянными; Dx_i — абсолютная погрешность величины x_i .

Запишем конечный результат:

• y=<y>±Dy.

Здесь <y> — среднее значение косвенного измерения, полученное по формуле (1) при подстановке в нее средних величин x _i ; Dy=e<y>.

Обычно в реальных измерениях присутствуют и случайные и систематические (аппаратурные) погрешности. Если вычисленная случайная погрешность прямых измерений равна нулю или меньше аппаратурной в два и большее число раз, то при вычислении погрешности косвенных измерений в расчет должна приниматься аппаратурная погрешность.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты работы дают основание говорить о том, что случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результатах измерений. Описание случайных погрешностей возможно только на основе теории вероятностей и математической статистики.

Случайные погрешности нельзя исключить из результатов измерений путем введения поправок. Однако их можно существенно уменьшить путем увеличения числа измерений, поскольку среднее арифметическое значение Х при этом стремится к истинному значению измеряемой величины Q.

Проанализировав тему реферата «Случайные погрешности и способы их уменьшения», выявлен наиболее точный метод уменьшения случайных погрешностей измерений — метод многократных измерений.

На производстве строительных материалов и непосредственно при возведении зданий и сооружений многократность измерений как способ повышения надёжности и достоверности результата измерений применяют довольно часто, т.к. метод многократных измерений позволяет существенно повысить достоверность результатов даже при влиянии помех различной физической природы и нестабильности режимов работы оборудования.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

[Электронный ресурс]//URL: https://inzhpro.ru/referat/normalnyiy-zakon-raspredeleniya-sluchaynyih-pogreshnostey/

1. Метрология, стандартизация, сертификация: Учебн. пособие для студ. высш. учебн. заведений / А.А. Гончаров, В.Д. Копылов — 6-е изд., стер. — М.: Издательский центр «Академия», 2008 — 240 с.

2. Метрология, стандартизация, сертификация: учебник для студ.учреждений высш.проф.образования/ [Б.Я. Авдеев, В.В.Алексеев, Е.М.Антонюк и др.]; под ред. В.В.Алексеева — 3-е изд., стер. — М.: Издательский центр «Академия», 2010 — 384 с.

3. Метрология, стандартизация, сертификация: Учеб. пособие / А.П.Баталов, Ю.П.Бойцов, С.Л.Иванов. Санкт-Петербургский гоударственный горный институт. СПб, 2003, 65 с.

4. Метрология, стандартизация, сертификация: Учеб. пособие / Д.А.Акмайкин. — Владивосток: Мор. гос. ун-т, 2007. — 152 с.

5. СТП-УГТУ-УПИ 5-1-2003 » Текстовые и графические учебные документы по архитектурно-строительной тематике. Общие требования.

6. Федеральный закон от 26.06.2008 № 102-ФЗ (ред. от 13.07.2015) «Об обеспечении единства измерений».

7. Федеральный закон от 27.12.2002 № 184-ФЗ (ред. от 05.04.2016) » О техническом регулировании».