До сих пор мы изучали планиметрию в курсе геометрии — изучали свойства плоских геометрических фигур, т.е. фигур, которые полностью находятся в одной плоскости. Но большинство предметов, которые нас окружают, не совсем плоские, они находятся в пространстве. Участок геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией (с другогогреческого).
στερεός, «стереос» — «твердый, пространственный» и μετρέω — «мера»).
Основные фигуры в пространстве
Эти геометрические тела называются многогранниками. Рассмотрим некоторые типы и свойства многогранников.
Многогранная поверхность. Комплекс
Многостороннее поверхностное именование ассоциации конечного числа плоских многоугольников, так что каждая сторона любого многоугольника одновременно является стороной другого (но только одного) многоугольника, названного рядом с первым многоугольником.
Из каждого из полигонов, составляющих полигональную поверхность, можно добраться до любого другого, двигаясь по соседним полигонам.
Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называются ее гранями; стороны многоугольников называются рёбрами, а вершины — вершинами многогранной поверхности.
Показаны комбинации полигонов, которые соответствуют заданным требованиям и являются многогранными поверхностями. Отображаются фигуры, не являющиеся многогранными поверхностями.
Многосторонняя поверхность делит пространство на две части — внутреннюю часть многогранной поверхности и внешнюю часть. Из двух частей внешней области той, в которой можно провести прямые, полностью принадлежащие поверхности, будет внешняя область.
Сочетание поверхности многогранника и его внутренней поверхности называется многогранником. Поверхность многогранника и его внутренняя площадь называются соответственно поверхностью многогранника и его внутренней площадью. Кромки, края и наконечники поверхности многогранника называются многогранными гранями, краями и наконечниками многогранника.
Пирамида
Многогранник, где одно ребро — это любой многогранник, а другое — треугольник с общей вершиной, называется пирамидой.
Виды многогранников
... Н. Делоне Многогранниками обычно называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемыми гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Диагональю многогранника называется отрезок прямой, ...
Многоугольник называется основанием пирамиды, а другие стороны (треугольники) называются сторонами пирамиды.
Пирамиды отличаются треугольником, четырёхугольником, пятиугольником и т.д. в зависимости от типа многоугольника у основания пирамиды.
Треугольная пирамида также называется тетраэдром. Показана квадратная пирамида SABCD с базой ABCD и сторонами SAB, SBC, SCD, SAD.
Боковые стороны краев пирамид называются краями пирамид. Ребра, принадлежащие к основанию пирамиды, называются ребрами основания, а все остальные ребра — боковыми. Общая вершина всех треугольников (боковые ребра) называется вершиной пирамиды (точка S — вершина пирамиды, сечения SA, SB, SC, SD — боковые ребра, сечения AB, BC, CD, AD — ребра основания).
Высота пирамиды называется отрезком вертикали, проходящей от вершины пирамиды S до плоскости основания (концы этого отрезка — вершина пирамиды и вертикаль основания).
SO — это высота пирамиды.
Правильная пирамида. Пирамида считается правильной, если основание пирамиды является правильным многоугольником, а ортогональная проекция вершины на плоскость основания совпадает с центром многоугольника, лежащего в основании пирамиды.
Все боковые грани реальной пирамиды одинаковы; все боковые грани равны равнобедренным треугольникам.
Высота боковой поверхности реальной пирамиды, видимая с ее вершины, называется апофеозом этой пирамиды. SN — это апофема. Все апопеи правильной пирамиды равны между собой.
Призма
Многогранник, две стороны которого равны n-угольникам, лежащим в параллельных плоскостях, а остальные n сторон являются параллелограммами, называется n-угольной призмой.
Пара одинаковых n-угольников называется основами призмы. Остальные стороны призмы называются боковыми краями, а их сочетание называется боковой стороной призмы.
Боковые стороны краев призм называются ребрами, а концы ребер — кончиками призм. Ребра, не относящиеся к основанию призмы, называются боковыми ребрами.
Призма, боковые грани которой перпендикулярны плоскостям основания, называется прямой призмой. Иначе, призма называется наклонная.
Сечение, перпендикулярное базовым плоскостям призмы, концы которых принадлежат этим плоскостям, называется высотой призмы.
Прямая призма, основанная на правом многоугольнике, называется правой призмой.
Параллелепипед
Параллелепипед называется прямой линией, если его боковые ребра перпендикулярны плоскости основания (в данном случае 4 боковых ребра — прямоугольники); прямоугольником, если этот параллелепипед прямой, а основание — прямоугольник (поэтому 6 сторон — прямоугольники);
- Параллелепипед, все стороны которого квадратные, называется куб.
Объем параллелепипеда соответствует по высоте работе его основания.
Каждый многогранник имеет объем, который может быть измерен с помощью выбранных единиц объема. За единицу измерения объема принимается куб с краем, соответствующим единице измерения сегментов. Куб с краем 1см называется кубическим сантиметром. Кубический метр и кубический миллиметр и т.д. определяются аналогичным образом.
При измерении объема в выбранных единицах измерения объем тела выражается положительным числом, указывающим на то, сколько единиц объема и его частей вписывается в данный корпус. Число, выражающее объем тела, зависит от единицы измерения объема. Поэтому после этого номера дается единица измерения объема.
Пирамида (геометрия)
... когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие); Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой. 6.3. Цилиндр Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с ...
Основные свойства объемов:
- Те же самые комитеты имеют те же самые тома.
- Если тело состоит из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.
Для определения объема тел в некоторых случаях полезно использовать теорему, называемую принципом Кавальери.
Принцип Кавальери заключается в том, что если при пересечении двух тел любая плоскость, параллельная любой заданной плоскости, сечения одной и той же поверхности равны, то объемы тел равны друг другу.
Заключение
Итак, многогранники изучают участок геометрии, называемый стереометрией. Полиэдры бывают разных типов (пирамида, призма и т.д.) и обладают разными свойствами. Следует также отметить, что многогранники, в отличие от плоских фигур, имеют объем и расположены в пространстве.
Большинство вещей, которые нас окружают, находятся в пространстве, и изучение многогранников помогает нам понять реальность вокруг нас с точки зрения геометрии.
Список литературы
[Электронный ресурс]//URL: https://inzhpro.ru/referat/mnogogranniki-v-tehnike/
- Геометрия. Учебник для 7-9 классов.
- Авторы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Е. Г. Позняк, И. И. Юдина.
- Википедия.
