Виды многогранников

метки: Многогранник, Грань, Вершина, Строительство, Правильный, Существовать, Многоугольник, Тетраэдр

показать связь полученной информации с жизнью.

Тема моего проекта «В мире многогранников».. Эту тему я выбрала потому, что понятие многогранника является одним из центральных в курсе стереометрии. Многогранники интересны и сами по себе. Они имеют красивые формы. Формы многогранников находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей, которые используются в реальных архитектурных проектах. Идёт это с глубокой древности. Пирамида — это норма тектоники — внутреннего устройства каменных зданий прошлого. (В частности пирамида Хеопса, имеют форму многогранников).

Силуэты каменных церквей и соборов, как правило, вписываются в форму пирамиды. «Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса — немой трактат по геометрии, а греческая архитектура — внешнее выражение геометрии Евклида.

М. П. Шаскольской

Глава 1. Понятие многогранника и его элементы

1.1 Понятие многогранника

Л. А. Люстерника, Б. Н. Делоне

Многогранниками обычно называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемыми гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Диагональю многогранника называется отрезок прямой, соединяющей две вершины, не лежащие в одной грани. Диагональной плоскостью многогранника называется плоскость, проходящая через три вершины многогранника, не лежащие в одной грани.

Б. Н. Делоне

Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, то есть вместе с любыми двумя своими точками содержит и соединяющий их отрезок. Выпуклый многогранник называют правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Рис 1.1. Примеры выпуклых и невыпуклых многогранников Многогранники обладают следующими свойствами:

1. Каждая грань выпуклого многогранника является выпуклым многоугольником.

2. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку выпуклого многогранника, пересекает его по выпуклому многоугольнику.

3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от каждой своей грани.

4. Выпуклый многогранник является выпуклой оболочкой всех своих вершин, то есть наименьшим выпуклым множеством, содержащим эти вершины.

Многогранники в технике

... наконечники поверхности многогранника называются многогранными гранями, краями и наконечниками многогранника. Пирамида Многогранник, где одно ребро — это любой многогранник, а другое — треугольник с общей вершиной, называется пирамидой. ... называется прямой линией, если его боковые ребра перпендикулярны плоскости основания (в данном случае 4 боковых ребра — прямоугольники); прямоугольником, если этот ...

Докажем одно из них.

Доказательство: Пусть F — какая-нибудь грань многогранника М; А, В — точки, принадлежащие грани F (рис. 1.2).

Из условия выпуклости многогранника М следует, что отрезок АВ целиком содержится в плоскости многоугольника F, он будет целиком содержатся и в этом многоугольнике, то есть F — выпуклый многоугольник.

Рис. 1.2.

1.2 Теорема Эйлера, Для выпуклых многогранников имеет

Название многогранника	В	Р	Г
Треугольная пирамида
Четырехугольная пирамида
Треугольная пирамида
Четырехугольная призма

В — число вершин Р — число ребер Г — число граней Из этой таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В-Р+Г=2. Оказывается, что равенство справедливо не только для этих многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника.

Теорема Эйлера

Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство: В-Р+Г=2.

Доказательство: Для доказательства этого равенства представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим многоугольник, разбитый на более мелкие многоугольники.

Заметим, что многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать и даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Число вершин, ребер, граней и при этом не изменится.

Докажем, что для получения разбиения многоугольника на более мелкие многоугольники имеет место равенства В-Р+Гґ=1 (*)

Где В — общее число вершин, Р — общее число ребер и Гґ — число многоугольников, входящих в разбиение. Ясно, что Гґ= Г-1, где Г — число граней данного многогранника.

Докажем, что равенства (*) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике данного разбиения провести диагональ (рис. 1.3а).

Рис. 1.3.

Действительно, после проведения диагонали в новом разбиении будет В вершин, Р+1 ребро и количество многоугольников увеличивается на единицу. Следовательно, имеем В — (Р+1) + (Гґ+1) = В-Р+ Гґ. Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие многоугольники на треугольники (рис. 3 б), и для полученного разбиения покажем выполнимость равенства (*).

Для этого будем последовательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников. При этом возможны два случая:

• а) для удаления треугольника АВС требуется снять два ребра, в нашем случае — АВ и ВС;
• б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае — MN.

В обоих случаях равенство (*) не изменится. Например, в первом случае после удаления треугольника граф будет состоять из В-1 вершин, Р-2 ребер и Гґ — многоугольника

(В-1) — (Р-2) + (Гґ-1)= В-Р+ Гґ

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет равенства (*).

Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов, мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника. Для такого разбиения В=3, Р=3, Гґ=1 и, следовательно В-Р+ Гґ=1. Значит, равенство (*) имеет место для исходного разбиения откуда окончательно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо равенство (*).

Таким образом, для исходного выпуклого многогранника справедливо равенство:

В-Р+ Г=2

Для любого многогранника верны неравенства:

Другие факты:

ь Всякий многогранник имеет хотя бы одну вершину, из которой исходит не более 5 ребер, а также грань, в которой не более 5 ребер.

ь В любом многограннике есть хотя бы одна треугольная грань или хотя бы один трехгранный угол.

ь Не существует многогранника, у которого ровно 7 ребер. Число 6 и любое целое число n8 могут быть количеством ребер выпуклого многогранника.

ь Для всякого выпуклого многогранника имеют место неравенства:

ь У любого многогранника есть по крайней мере две грани с одинаковым количеством сторон.

ь Во всяком выпуклом многограннике сумма плоских углов всех граней вдвое больше суммы углов выпуклого многоугольника, имеющего то же число вершин.

Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по одной внутренней точке и соединить ребрами те из выбранных точек, которые лежат на смежных гранях, то получится новый многогранник, называемый сопряженным с данным. Количества вершин, ребер и граней данного и сопряженного многогранников связаны соотношениями В*=Г, Г*=В, Р*=Р.

Задача 1. Проверить теорему Эйлера для выпуклого многогранника с вершинами в серединах ребер куба.

Решение. Количество вершин нашего многогранника равно количеству ребер куба, то есть В=12.

Далее, многогранник имеет 8 треугольных граней (столько, сколько вершин у куба) и 6 четырехугольных граней (на каждой грани куба одна грань нашего многогранника).

Следовательно, Г=8+6=14. Наконец, число ребер равно: Р=½ х (8×3+6×4)=24.

Имеем: 12+14=24+2.

Задача 2. Привести пример какого-нибудь многогранника, у которого 9 вершин и 7 граней.

Решение. Возьмем какой-нибудь многогранник с близкими значениями чисел В, Р, Г. Например, куб — у него В=8, Г=6.

Заметим, что если срезать куб так, как показано на рисунке, то получится многогранник с требуемым количеством вершин, ребер и граней.

1.3 Понятие правильного многогранника с точки зрения топологии

Рассмотрим понятие правильного многогранника с точки зрения топологии — науки, изучающей свойства фигур, не зависящих от различных деформаций без разрывов. С этой точки зрения, например, все треугольники эквивалентны, так как один треугольник всегда может быть получен из любого другого соответствующим сжатием или растяжением сторон. Вообще, все многоугольники с одинаковым числом сторон эквивалентны по той же причине.

Как в такой ситуации определить понятие топологически правильного многогранника? Иначе говоря, какие свойства в определении правильного многогранника являются топологически устойчивыми и их следует оставить, а какие не являются топологически устойчивыми и их следует отбросить.

В определении правильного многогранника количество сторон и граней являются топологически устойчивыми, то есть не меняющимися при непрерывных деформациях. Правильность же многоугольников не является топологически устойчивым свойством. Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Два многогранника называются топологически эквивалентными, если один из другого можно получить непрерывной деформацией.

Например, все треугольники пирамиды являются топологически правильными многогранниками, эквивалентны между собой. Все параллелепипеды также являются эквивалентными между собой топологически правильными многогранниками, например, четырехугольные пирамиды.

Выясним вопрос о том, сколько существует не эквивалентных между собой топологически правильных многогранников.

Как мы знаем, существует пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Казалось бы, топологически правильных многогранников должно быть гораздо больше. Однако оказывается, что никаких других топологически правильных многогранников, не эквивалентных уже известным правильным, не существует.

Для доказательства этого воспользуемся теоремой Эйлера. Пусть дан топологически правильных многогранник, гранями которого являются п-угольники и в каждой вершине сходится т ребер. Ясно, что п и т больше и равны трем. Обозначим, как раньше, В — число вершин, Р — число ребер и Г — число граней. Тогда пГ= 2Р; Г=; тВ=2Р; В=.

По теореме Эйлера В-Р+Г=2, следовательно,

Откуда

Из полученного равенства, в частности, следует, что должно выполняться неравенство 2n+2m-nm >0, которое эквивалентно неравенству (n-2) (m-2)<4. Найдем все возможные значения n и m, удовлетворяющие найденному неравенству, и заполним следующую таблицу:

	В=4, Р=6, Г=4 Тетраэдр	В=6, Р=12, Г=8 октаэдр	В=12, Р=30, Г=20 икосаэдр
	В=8, Р=12, Г=4 Куб	Не существует	Не существует
	В=20, Р=30, Г=12 Додекаэдр	Не существует	Не существует

Например, значения n=3, m=3 удовлетворяют неравенству (n-2) (m-2)<4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим: Р=6, В=4, Г=4. Значения n=4, m=4 не удовлетворяют неравенству (n-2) (m-2)<4, следовательно, соответствующего многогранника не существует.

Из этой таблицы следует, что возможными топологически правильными многогранниками являются только правильные многогранники. Нетрудно понять, почему может быть только пять типов правильных многогранников. Возьмем простейшую грань — равносторонний треугольник. Многогранный угол можно образовать, приложив друг к другу три, четыре либо пять равносторонних треугольников, то есть тремя способами. (Если число треугольников равно шести, то сумма плоских углов при общей вершине будет равна 360?).

При использовании квадратов в качестве граней можно образовать многогранный угол лишь одним способом — с помощью трех приложенных друг к другу квадратов. Единственным способом может быть образован многогранный угол и из правильных пятиугольников. Правильные n — угольники при n многогранных углов, очевидно, не образует вообще. Таким образом, могут существовать только пять типов правильных многогранников: три многогранника с треугольными гранями (тетраэдра, октаэдр, икосаэдр), один с квадратными гранями (куб) и один с пятиугольными гранями (додекаэдр).

1.3.1 Задачи на построение правильных многогранников

Рассмотрим наиболее оригинальные способы построения правильных многогранников

Задача 1. Построить правильный тетраэдр.

Решение Пусть дан куб АВСDА ₁ В₁ С₁ D₁ (рис. 1.4).

Рассмотрим какую — либо его вершину, например А. В ней сходятся три грани куба, имеющие форму квадратов. В каждом из этих квадратов берем вершину, противоположную А, — вершины куба В₁ , С₁ , D. Точки А, В₁ , С₁ , D. Являются вершинами правильного тетраэдра. Действительно, каждый из отрезков АВ₁ , В₁ С₁ , С₁ D, АD, В₁ D и АС₁ , очевидно, служит диагональю одной из граней куба, а потому все эти отрезки равны. Отсюда следует, что в треугольной пирамиде с вершиной, А и основанием В₁ С₁ D все грани — правильные треугольники, следовательно, эта пирамида — правильный тетраэдр. Этот тетраэдр вписан в данный куб.

Полезно заметить, что другие четыре вершины куба являются вершинами второго правильного тетраэдра А ₁ ВСD_{1 ,} равного первому и также вписанного в данный куб. Следовательно, можно построить ровно два правильных тетраэдра, вписанных в данный куб.

Рис. 1.4. Куб

1.4 Симметрия многогранников

Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают. Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т. д. ), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника. Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани. Существует одна симметрия, которая свойственна всем многогранникам. Речь идет о тождественном преобразовании, оставляющем любую точку в исходном положении. С менее тривиальным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой правильной р-угольной призмы.

Примеры размерности симметрии плоских фигур дают правильные многоугольники. Примеры симметрии пространственных фигур дают правильные призмы и пирамиды: они совмещаются сами с собой, например, поворотами вокруг оси, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через его центр.

Мы будем понимать симметрию в общем смысле, как она определена в начале и как ее понимают, в частности, когда говорят о симметрии кристаллов. При этом наложения фигуры на себя называются преобразованиями симметрии.

Теорема. Рассмотрим данный правильный многогранник Р. Пусть, А — его вершина, а — ребро с концом А, а — грань со стороной а. Для любых других аналогичных его элементов А’, а’, а’ существует наложение многогранника Р на себя, переводящее А’ в А, а’ в а, а’ в а.

Доказательство Переносом многогранника переведем вершину А’ в А. Поворотом многогранника вокруг, А переведем перенесенное ребро а’ в а. Поворотом многогранника вокруг ребра, а приведем (перенесенную и повернутую) грань а’ в совпадение с гранью а. Так как грани равны, то грань а’ полностью совместится с а.

Так как двугранные углы равны, то для граней р и р’, смежных с, а и а’, есть только две возможности: 1) р’ совпадает с р; 2) р’ не совпадает с р, но будет симметрична р относительно плоскости грани а. В таком случае отражением в этой плоскости переведем Р’ в р.

Итак, наложением всего многогранника Р мы совместили вершину А’ с А, ребро а’ — с а, грани а’, р’, смежные по ребру а’, — с гранями а, р, смежными по ребру а.

Убедимся, что при этом многогранник оказывается совмещенным сам с собой. Две грани многогранного угла при вершине, А совпали (а’ с а, р’ с р).

Перейдем к граням у и у’, соседним с р. Двугранные углы, которые они образуют с р, равны и расположены с одной стороны — с той же, с какой лежит грань а. Поэтому грань у’ совпадает с у. Так убедимся, что многогранные углы при вершине, А совпали. Переходя к другой вершине, соединенной с, А ребром, аналогично убедимся, что и при этой вершине многогранные углы совпадают. И так пройдя по всему многограннику, убедимся, что он совпал сам с собой, что и требовалось доказать. ?

Свойство правильных многогранников, установленное доказанной теоремой, означает, что они обладают, так сказать, максимальной мыслимой симметрией. Наложение, совмещение многогранника самого с собою, неизбежно совмещает какую-то вершину А’ с А, ребро а’ — с а, грань а’— с а, и примыкающую грань р’ — с р. Наложение этим вполне определено, оно только одно. Поэтому максимальное число возможных наложений будет тогда, когда каждую совокупность А, а, а, р можно перевести в каждую. А это так у правильных многогранников Очевидно, верно и обратное. Если многогранник обладает такой максимальной симметрией, то он правильный (так как ребро, а совмещается с а’, угол на грани а’ при вершине, А совмещается с таким же углом, и двугранный угол между а’ и р ⁴ ‘ совмещается с углом между, а и р.— так что все ребра и углы равны).

Число наложений, совмещающих правильный многогранник сам с собою, равно 2 те, где т — число ребер, сходящихся в одной вершине, и е — число вершин; те наложений первого рода и те — наложений второго рода. Они и образуют группу симметрии правильного многогранника. Группы симметрии у куба и октаэдра совпадают ввиду их двойственности. Так же совпадают группы симметрии у додекаэдра и икосаэдра. Группа тетраэдра является подгруппой группы куба, как видно из возможности вложить тетраэдр в куб (рис. 1.5, а).

Наиболее интересные элементы симметрии — это зеркальные оси: 4-го порядка у тетраэдра, 6-го порядка — у куба, 10-го порядка — у додекаэдра (рис. 1.5,б).

Убедитесь, что это так, определив, как расположены эти оси. Оси симметрии и плоскости симметрии куба изображены на рис. 1.5 в, г.

Рис. 1.5.

1 .5 Подобие многогранников

Два многогранника называются подобными, если существует преобразование подобия, переводящее один многогранник в другой.

Подобные многогранники имеют соответственно равные многогранные углы и соответственно подобные грани. Соответственные элементы подобных многогранников называются сходственными. У подобных многогранников двугранные углы равны и одинаково расположены, а сходственные ребра пропорциональны.

Кроме того, справедливы следующие теоремы:

Теорема 1. Если в пирамиде провести секущую плоскость параллельно основанию, то она отсечет от нее пирамиду, подобную данной.

Теорема 2. Площади поверхностей подобных многогранников относятся как квадраты, а их объемы — как кубы сходственных линейных элементов многогранников.

Глава 2. Виды многогранников

2.1 Призма

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А ₁ А₂ …А_n и В₁ В_2… В_{n ,} расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой.

Многоугольники А ₁ А₂ …А_n и В₁ В_2… В_n (рис. 2.1)называются основаниями, а параллелограммы — боковыми гранями призмы. Отрезки А₁ В₁ и А₂ В₂ называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов последовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны. Призма с основаниями А₁ А₂ …А_n и В₁ В_2… В_n обозначают А₁ А₂ … А_n В₁ В_2… В_n и называют n — угольной призмой. На рисунке изображены треугольная и шестиугольная призмы, т. е. параллелепипед.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Рис. 2.1. Призма Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае — наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания — правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани — равные прямоугольники. На рисунке изображена правильная шестиугольная призма [«https:// «, 7].

2.1.1

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы — сумма площадей ее боковых граней. Площадь S_полн. полной поверхности выражается через площадь S_бок боковой поверхности и S_осн основания призмы формулой:

S _полн. =S_бок +2S_осн.

Докажем теорему о площади боковой поверхности прямой призмы: площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, S _бок = Ph.

Доказательство:

Боковые грани прямой призмы — прямоугольники, основания которых — стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т. е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h, вынося множитель h за скобки, мы получаем в скобках сумму сторон основания призмы, т. е. его периметр P. Итак, S_бок = Ph.

Теорема доказана.

2.2 Пирамида

Многогранник, составленный из n — угольника А ₁ А₂ …А_n и n треугольников, называется пирамидой (рис. 2.2).

Многоугольник А₁ А₂ …А_n называется основанием, а треугольники — боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА_1, РА_2,… РА_n — ее боковыми ребрами. Пирамиду с основанием А₁ А₂ …А_n и вершиной Р обозначают так: РА₁ А₂ …А_{n —} и называют n — угольной пирамидой. На рисунке показаны четырехугольная и шестиугольная пирамиды. Ясно, что треугольная пирамида — это тетраэдр.

Рис. 2.2. Пирамида Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания, называют поперечным сечением пирамиды.

Свойс тва поперечных сечений пирамиды:

1. Если пересечь пирамиду плоскостью, параллельной основанию, то:

• ь боковые ребра и высота пирамиды разделятся этой плоскостью на пропорциональные отрезки;

в сечении получится многоугольник, подобный многоугольнику, лежащему в основании;

ь

2. Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площадям оснований.

2.2.1 Площади боковой и полной поверхности призмы

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды — сумма площадей ее боковых граней. Тогда, S_полн. = S_бок + S_{осн .}

Многоугольник, гранями которого является n — угольники А ₁ А₂ …А_n и В₁ В_2… В_n , расположенных в параллельных плоскостях, и n четырехугольников А₁ А₂ В₁ В₂ , А₂ А₃ В₃ В₂ …, называется усеченной пирамидой (рис. 2.3).

Рис. 2.3.

Основаниями усеченной пирамиды называются параллельные грани

Высота усеченной пирамиды — отрезок прямой,

перпендикулярный основаниям и заключенный

между их плоскостями.

Усеченная пирамида правильная, если ее основания — правильные многоугольники, а прямая, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскости оснований.

Апофемой усеченной пирамиды называют высоту ее боковой грани

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему:

2.3 Параллелепипед

Рис. 2.4.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой служат параллелограммы (рис. 2.4).

Параллелепипед, боковые ребра которого

перпендикулярны к плоскостям оснований, называется прямым. В противном случае — параллелепипед называется наклонным.

Кубом называют прямоугольный параллелепипед, все двенадцать ребер которого равны. Все шесть граней куба — равные квадраты.

На рисунке (а) изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке (б) — прямой параллелепипед. Прямой параллелепипед, основания которого прямоугольники, называется прямоугольным. Все его грани — прямоугольники, и длины трех ребер, выходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда.

Некоторые свойства параллелепипеда:

ь У параллелепипеда противолежащие грани параллельны, и равны.

Рис. 2.5. Параллелепипед.

Доказательство Рассмотрим какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда, например А1А2А’2А’1 и A3A4A’4A’3 (рис. 2.5).

Так как все грани параллелепипеда — параллелограммы, то прямая A1A2 параллельна прямой А4А3, а прямая А1А’1 параллельна прямой А4А4′. Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.

Из того, что грани параллелепипеда — параллелограммы, следует, что отрезки А1А4, А1’А4′, A’2A’3 и A2A3 — параллельны и равны. Отсюда заключаем, что грань А1А2А’2А’1 совмещается параллельным переносом вдоль ребра А1А4 с гранью А3А4А’4А’3. Значит, эти грани равны. Аналогично доказывается параллельность и равенство любых других противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана.

ь Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Рис. 2.6.

Доказательство Рассмотрим какие-нибудь две диагонали параллелепипеда, например А ₁ А’₃ и A₄ A’₂ (рис. 2.6).

Так как четырехугольники А₁ А₂ А₃ А₄ и A₂ A’₂ A’₃ A₃ — параллелограммы с общей стороной A₂ A₃ , то их стороны А₁ А₄ и A’₂ A’₃ параллельны друг другу, а значит, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскости противолежащих граней параллелепипеда по параллельным прямым A₁ A’₂ и A₄ A’₃ . Следовательно, четырехугольник A₄ A₁ A’₂ A’₃ — параллелограмм. Диагонали параллелепипеда A₁ A’₃ и A₄ A’₂ являются диагоналями этого параллелограмма. Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам. Аналогично доказывается, что диагонали A1A’3 и A2A’4, а также диагонали A1A’3 и A3A’1 пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.

Рис. 2.7.

ь Сумма квадратов всех диагоналей прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер (рис. 2.7), то есть: d ₁ ² + d₂ ² + d₃ ² + d₄ ² = 4b² + 4c²

ь Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: d ² = a² + b² + c²

Доказательство Так как AA1 перпендикулярно к основанию ABCD, то угол AA1C прямой (рис. 2.8).

Из прямоугольного треугольника AA1C по теореме Пифагора получаем:

Рис. 2.8.

A ₁ C² = AC² + AA₁ ²

но AC — это диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC ² =AB² +AD² . Кроме того, AA1=CC1, следовательно,

A ₁ C² =AB² +AD² +CC₁ ² .

Теорема доказана.

Диагонали прямого параллелепипеда вычисляются по формулам:

d ₁ ² = a² + b² + c² + 2abcos Ь

d ₂ ² =a² +b² +c² -2abcosЬ

ь В параллелепипед можно вписать тетраэдр.

Объем такого тетраэдра равен 1/3 части объема параллелепипеда.

V = 1/6 d ₁ d₂ p (d₁ , d₂ ) sin (d₁ , d₂ )

2.3.1 Площади боковой и полной поверхности параллелепипеда

Площадь боковой поверхности (или просто боковая поверхность) призмы (параллелепипеда) называется сумма площадей всех ее боковых граней. Площадью полной поверхности (или просто полная поверхность) призмы (параллелепипеда) называется сумма ее боковой поверхности и площадей оснований

S _полн = 2 (ab + ac + bc).

2.4 Правильные многогранники

Рис. 2.9. «Космический кубок»

Ещё во времена древних греков был установлен поразительный факт — существует всего пять правильных выпуклых многогранников разной формы. Впервые исследованные пифагорейцами, эти пять правильных многоугольников были впоследствии подробно описаны Платоном и стали называться в математике платоновыми телами.

И. Кеплер построил на основе правильных многогранников модель Солнечной системы. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера (рис. 2.9).

Существование только пяти правильных многогранников представлялось ученым фундаментальным фактом, который должен иметь прямое отношение к строению материи во Вселенной. Пифагорейцы считали многогранники божественными. Согласно их воззрениям, атомы основных элементов должны иметь форму различных платоновых тел: атомы огня — форму тетраэдра, земли — форму куба, воздуха — форму октаэдра, воды — форму икосаэдра. Древнегреческий учёный Платон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы. (Стихиями натурфилософы называли вещества, из которых, путём сгущения и разрежения, охлаждения и нагревания образуются все тела.) Пифагорейцы считали, что огонь состоит из мельчайших (а поэтому невидимых) частиц, имеющих форму тетраэдра. Их воззрения основывались на том, что, поскольку среди выпуклых правильных тел тетраэдр обладает наименьшим числом граней и наиболее «острыми» многогранными углами при вершинах, то он обладает наибольшей проникающей способностью. Правильный тетраэдр представляет собой простейшее из пяти Платоновых тел, он обладает рациональной конструкцией: высокой прочностью при малом весе. Наиболее неподвижной из стихий — земле пифагорейцы ставили в соответствие самый устойчивый многогранник — куб.

С помощью простых и сложных атомов Платон попытался даже отразить взаимоотношения между стихиями: 1 вода = 2 воздух + 1 огонь. Это «уравнение» надо понимать так: в элементе воды — икосаэдре — 20 граней, образованных равносторонними треугольниками, которые составлены шестью прямоугольными треугольниками. Платон представлял атомы как плоские тела — прямоугольные треугольники двух видов: одни равнобедренные, другие с катетом, равным половине гипотенузы.

огонь	тетраэдр
вода	икосаэдр
воздух	октаэдр
земля	гексаэдр
вселенная	додекаэдр

Пять правильных тел изучали Театет, Платон, Евклид, Гипсикл, Папп. Также необычайно высок был интерес к правильным многогранникам в кругах художников, скульпторов, архитекторов. Ими занимались Леонардо да Винчи, Альберт Дюрер.

Итак, существует всего пять правильных многогранников.

Простейшим среди многогранников является тетраэдр (четырёхгранник — от греческого «тетра», т. е. четыре).

Его четыре грани — равносторонние треугольники. Четыре — это наименьшее число граней, отделяющих часть трёхмерного пространства. Тем не менее, тетраэдр обладает многими свойствами, характерными для однородных многогранников. Все его грани суть правильные многоугольники, причём каждая отделяется ребром в точности от одной грани. Все многогранные углы тетраэдра также равны между собой.

Куб, или гексаэдр (шестигранник — от греческого «гекса», т. е. шесть) — самый общеизвестный и широко используемый многогранник. Все шесть его граней — квадраты, сходящиеся по два вдоль каждого ребра и по три в каждой вершине.

Октаэдр (восьмигранник — от греческого «окта», т. е. восемь), составленный из восьми правильных треугольников, его противоположные грани лежат в параллельных плоскостях. Иоганн Кеплер (1571−1630) в своём этюде «О снежинке» высказал такое замечание: «Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных — куб, а его, если позволительно так сказать, супруга — октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба граней».

Икосаэдр (двадцатигранник — от греческого «икос», т. е. двадцать), составленный из двадцати правильных треугольников. Икосаэдр — одно из пяти тел, по простоте следующее за тетраэдром и октаэдром. Их объединяет то обстоятельство, что гранями каждого являются равносторонние треугольники.

И загадочный додекаэдр (двенадцатигранник — от греческого «додека», т. е. двенадцать), составленный из двенадцати правильных пятиугольников. В известном смысле додекаэдр представляет наибольшую привлекательность среди тел, соперничая с икосаэдром, который почти ему не уступает (а быть может, в чём-то и превосходит).

2.5 Полуправильные многогранники

В предыдущем разделе я рассмотрела правильные многогранники, то есть такие выпуклые многогранники, гранями которых являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине которых сходится одинаковое число граней. Если в этом определении допустить, что гранями многогранника могут быть различные правильные многоугольники, то получим многогранники, которые называются полуправильными.

Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники и все многогранные углы равны.

К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны. Например, правильная пятиугольная призма (рис 2.10).

имеет своими гранями два правильных пятиугольника — основания призмы и пять квадратов, образующих боковую поверхность призмы.

Рис. 2.10. Правильная призма

К полуправильным многогранникам относятся и так называемые антипризмы. Каждая вершина верхнего и нижнего оснований соединены с двумя ближайшими вершинами другого основания.

Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников имеется ещё 13 полуправильных многогранников, которые впервые открыл и описал Архимед, — это тела Архимеда.

Самые простые из них получаются из правильных многогранников операцией «усечения», состоящей в отсечении плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий восемь граней (рис. 2.11 (1)).

Из них четыре — правильные шестиугольники и четыре — правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходятся три грани.

Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр (рис. 2.11 (2)) и усеченный икосаэдр (рис. 2.11 (3)).

Обратите внимание на то, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра. Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб (рис. 2.11 (4)) и усеченный додекаэдр (рис. 2.11 (5)) .

Для того чтобы получить еще один полуправильный многогранник, проведем в кубе отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате чего получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдром (рис. 2.11 (6)).

Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и его название — кубооктаэдр.

Аналогично, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдром (рис. 2.11 (7)).

У него двадцать граней — правильные треугольники и двенадцать граней — правильные пятиугольники, то есть все грани икосаэдра и додекаэдра.

К последним двум многогранникам снова можно применить операцию усечения. Получим усеченный кубооктаэдр (рис. 2.11 (8)) и усеченный икосододекаэдр (рис. 2.11 (9)).

Было рассмотрено 9 из 13 описанных Архимедом полуправильных многогранников. Четыре оставшихся — многогранники более сложного типа.

Поверхность ромбокубооктаэдр состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлена еще 12 квадратов (рис. 2.11 (10)).

Поверхность ромбоикосододекаэдр состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов (рис. 2.11 (11)).

На рисунках 12, 13 представлены соответственно так называемые плосконосый куб и плосконосый додекаэдр, поверхности которых состоят из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками.

Как видим, каждая поверхность этих многогранников состоит их двух или трех типов граней: квадраты, треугольники и пятиугольники. Модели этих многогранников будут особенно привлекательны, если при их изготовлении грани каждого типа раскрасить в свой особый цвет.

2.6 Звездчатые многогранники

Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые правильные звездчатые многогранники. Они получаются из правильных многогранников продолжением сторон правильных многоугольников.

Первые два правильных звездчатых многогранника были открыты Кеплером (1571−1630), а два других почти 200 лет спустя построил французский математик и механик Л. Пуансо (1777−1859).

Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера-Пуансо.

В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810) Л. Пуансо описал четыре правильных звездчатых многогранника, но вопрос о существовании других таких многогранников оставался открытым. Ответ на него был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком О. Коши (1789 — 1857).

В работе «Исследование о многогранниках» он доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует.

Рассмотрим вопрос о том, из каких правильных многогранников можно получить правильные звездчатые многогранники. Из тетраэдра, куба и октаэдра правильные звездчатые многогранники не получаются. Возьмем додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником, и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром (рис. 2.11).

Рис. 2.11.

При продолжении граней додекаэдра возникают две возможности. Во-первых, если рассматривать правильные пятиугольники, то получатся так называемый большой додекаэдр. Если же, во-вторых, в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники, то получается большой звездчатый додекаэдр. Красоте малого звездчатого додекаэдра находится на удивление мало места в нашей жизни: он служит разве что светильником, да и то очень редко. Даже изготовители елочных украшений и то не додумались сделать трехмерную звезду, а ею как раз и оказался бы этот многогранник.

Мауриц Эсхер пишет: «Звездчатый додекаэдр, символ математической красоты и порядка, окружен прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных вещей».

Икосаэдр имеет одну звездчатую форму. При продолжении граней правильного икосаэдра получается большой икосаэдр (рис. 2.12).

Рис. 2.12.

Таким образом, существует 4 типа правильных звездчатых многогранников. Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применить их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений.

Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки — это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Глава 3. Многогранники в различных областях культуры и науки

Многогранники в живописи

Правильные многогранники привлекают совершенством своих форм, полной симметричностью, что дало возможность венгерскому инженеру Эрне Рубику создать свой знаменитый «кубик Рубика».

Постоянный интерес к изучению и изображению многогранников испытывали и многие художники разных эпох и стран. Пик этого интереса приходится, конечно, на эпоху Возрождения. Изучая явления природы, художники Возрождения стремились найти опирающиеся на опыт науки способы их изображения. Учения о перспективе, светотени и пропорциях, построенные на математике, оптике, анатомии, становятся основой нового искусства. Они позволяют художнику воссоздавать на плоскости трехмерное пространство, добиваться впечатления рельефности предметов. Для некоторых мастеров Возрождения многогранники являлись просто удобной моделью для тренировки мастерства перспективы. Другие восхищались их симметрией и лаконичной красотой. Третьих, вслед за Платоном, привлекали их философские и мистические символы.

Увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах Леонардо да Винчи (1452−1519).

Он проиллюстрировал изображениями правильных и полуправильных многогранников книгу своего друга монаха Луки Палочи (1445 — 1514) «О божественной пропорции».

Другим знаменитым художником эпохи Возрождения, увлекшимся геометрией, был Альбрехт Дюрер (1471−1528).

В его известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изображен многогранник, гранями которого являются треугольники и пятиугольники. В 1525 году он даже написал трактат о пяти правильных многогранниках.

Известный голландский художник Маурица Эшер (1898−1972) написал картину — фантазию на тему «Правильные многогранники».

А испанский художник Сальвадор Дали использовал символ Вселенной в своей картине «Тайная вечеря», на которой Христос и его ученики изображены на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Очень интересно об этом произведении писала Завадская: «В нём воплощено философско-религиозное и эстетическое кредо Дали. Здесь воздух и свет, и конструкция, и сон, и явь, и надежда, и сомнение. В центре большого полотна (167Ч288) изображен Христос в трех ипостасях — как сын, сошедший на Землю, он сидит за столом со своими учениками, но потом мы замечаем, что он вовсе и не сидит за столом, а погружен по пояс в воду — то есть крестится водой, или духом святым, тем самым воплощая вторую ипостась троицы, а над ним призрачно высится мужской торс, словно часть композиции «Вознесение» — возвращение к Богу Отцу. Апостолы изображены низко склонившими головы на стол — они словно поклоняются Христу (или спят!) — в этом случае есть аллюзия на евангельский текст, содержащий просьбу Христа не спать, пока он молит Бога: «Чашу мимо пронеси».

3.2 Правильные многогранники в живой природе

Создания природы красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Идеи Пифагора, Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира уже в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, авторами которой (в начале 80-х годов) явились московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считали, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Их 62 вершины и середины рёбер, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянуться вдоль икосаэдро-додекаэдрической сетки. Ещё более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих рёбер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой правильные многогранники занимают важное место.

Правильные многогранники неоднократно встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите. Интересно, что икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для того чтобы определить его форму, брали разные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень — икосаэдр.