Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения, особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники.
Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий, мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная.
1.Случайные величины
Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайная величина является числовой характеристикой результата эксперимента, которая принимает свои значения в зависимости от элементарного события. Примером случайной величины могут быть: число очков, выпадающих при одном бросании игральной кости, число граждан, которые имеют высшее образование среди взятых наугад n человек, число бракованных изделий в партии из N штук, время безотказной работы прибора и т.д.
Случайная величина обычно обозначается прописной латинской буквой , ее конкретные значения – строчными буквами .Случайной величиной называется функция , определенная на множестве элементарных событий , .
2.Классификация случайных величин
Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Величина называется дискретной, если она может принимать определенные, фиксированные значения.
Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга. Пусть дискретная случайная величина может принимать значений: . Для полной характеристики этой случайной величины должны быть заданы еще и вероятности появления указанных значений .
3.Закон распределения случайной величины
Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.
Законом распределения случайной дискретной величины называется совокупность пар чисел ( ), где – возможные значения случайной величины, а – вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем .
Непрерывные случайные величины
... случайную величину X будем называть непрерывной, если непрерывна ее функция распределения F (х ) с непрерывной или кусочно-непрерывной производной. 4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо заранее заданное значение, ... называется полной группой событий? 3. Сформулируй 1. Понятие «случайные величины». Определение 1. Случайной величиной называют переменную величину, ...
Таблицу значений дискретной случайной величины , если это целесообразно, формально всегда можно пополнить конечным набором любых чисел, считая их значениями с вероятностями, равными нулю.
Случайные величины и называются независимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой и не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина. В противном случае эти величины называются зависимыми. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если возможные значения и законы распределения любой из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.
4. Функция распределения случайной величины и ее свойства
Как для дискретной величины, так и для непрерывной вводится понятие функции распределения.
Пусть – случайная величина, определенная на множестве элементарных событий , , а – произвольное действительное число. В общем случае функция должна быть такова, чтобы для любых событие , состоящее в том, что случайная величина попадает в интервал , принадлежала полю событий и, таким образом, для любого такого события была определена вероятность .
Тогда вероятность того, что примет значение, меньшее, чем , равна значению функции распределения вероятностей данной случайной величины , соответствующее значению аргумента , т.е. функция распределения вероятностей данной случайной величины представляет собой вероятность события , где – задаваемые непрерывно изменяющиеся значения, т.е. .
Рассмотрим функцию распределения случайной дискретной величины , принимающей значения .
Если , то , так как в этом случае событие является невозможным.
Если , то событие наступит тогда и только тогда, когда наступит событие , поэтому .
Если , то событие равно сумме событий , и .
Аналогично, если , то .
Таким образом, функция распределения случайной дискретной величины равна , где , и суммирование производится по тем , для которых .
Если дискретные значения случайной величины расположены в порядке возрастания, то каждому значению этих величин ставится в соответствие сумма вероятностей всех предыдущих значений и вероятности , это указано в таблице (см.Приложение1)
В точках функция распределения имеет скачки, равные вероятности того, что случайная величина примет соответствующее значение.
Свойства функции распределения:
Функция распределения принимает значения из промежутка : .
Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности : .
Функция распределения – неубывающая функция, т.е. при .
Если , то .
Если , то .
5. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
5.1 Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства
В некоторых случаях закон распределения случайной величины неизвестен, или просто целесообразно использовать не таблицу или функцию распределения для представления случайной величины, а так называемые числовые характеристики ее распределения, в частности математическое ожидание.
Метрология, физические величины и шкалы измерений
... при измерении в ограниченном диапазоне: - аналоговые (непрерывные) - могут иметь в заданном диапазоне бесконечное множество размеров. Такими являются подавляющее число ФВ: напряжение, сила тока, температура. Значение аналоговой величины определяют путем измерения ...
Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма парных произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности:
,где .
Очевидно, математическое ожидание случайной величины не изменится, если таблицу значений этой случайной величины пополнить конечным числом любых чисел, считая, что вероятности этих чисел равны нулю. Математическое ожидание случайной величины есть величина постоянная и поэтому представляет числовую характеристику случайной величины .Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Свойства математического ожидания можно сформулировать в виде теорем.
1. Теорема. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине.
Доказательство. Постоянную величину можно рассматривать как случайную дискретную величину, принимающую лишь одно возможное значение с вероятностью . Поэтому .
2. Теорема. Математическое ожидание суммы двух (или нескольких) случайных величин и равно разности их математических ожиданий
Доказательство:
1) Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями ( ), а случайная величина принимает значения с вероятностями ( ).
Тогда возможными значениями случайной величины будут суммы , вероятности которых равны:
Как уже отмечалось ранее, все комбинации ( ) ( , ) можно считать допустимыми, причем, если сумма невозможна, то полагаем, чт .
Сумма представляет собой вероятность события, состоящего в том, что случайная величина принимает значения при условии, что случайная величина примет одно из своих возможных значений (что достоверно); это сложное событие, очевидно, эквивалентно тому, что принимает значение и поэтому
Аналогично
Тогда
Для нескольких случайных величин, например для трех , и , имеем:
, и т.д.
Следствие. Если – постоянная величина, то:
3. Теорема. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин и равно произведению их математических ожиданий:
Доказательство. Пусть случайная величина принимает значения ( , ) ( ) и ( , ) ( ) – законы распределения случайных величин и . Так как и – независимы, то полный набор значений случайной величины состоит из всех произведений ( , ), причем вероятности этих значений по теореме умножения для независимых событий равны
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. . Если – постоянная величина и – любая случайная величина, то, учитывая, что и – независимы, получим:
Следствие. Математическое ожидание разности двух случайных величин и равно разности их математических ожиданий:
Доказательство.
5.2 Дисперсия случайной величины и ее свойства
На практике часто требуется оценить рассеяние случайной величины вокруг ее среднего значения. Использовать в качестве такой характеристики отклонение случайной величины от ее математического ожидания не представляется возможным.
Теорема. Для любой случайной величины математическое ожидание ее отклонения равно нулю, т.е.
Программирование с использованием генератора случайных чисел
... есть математическое ожидание, —среднее квадратическое отклонение нормального распределения. 2.1.2 Показательное (экспоненциальное) распределение. П оказательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, ... ЭВМ программу в соответствии заданием: Сгенерировать последовательность из 50 случайных чисел с нормальным законом распределения а=5, =4) и последовательность ...
Доказательство. Действительно, учитывая, что – постоянная величина, имеем:
Такой характеристикой степени рассеяния случайной величины является дисперсия.
Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:
- Очевидно, что дисперсия случайной величины постоянна, т.е. является числовой характеристикой этой величины.
Если случайная величина имеет закон распределения , то .
Так же как и для математического ожидания, свойства дисперсии можно сформулировать в виде теорем.
