Статические модели задачи размещения

метки: Задача, Производство, Условие, Размещение, Значение, Подмножество, Угодно, Решение

Производственно-транспортные задачи оптимального размещения предприятий и применимость метода последовательных расчетов

Имеется п пунктов потребления с заданными объемами потребления и m пунктов производства (предприятий) с неизвестными, ограниченными сверху объемами производства . Для каждого заданы величины — постоянные затраты (капиталовложения), не пропор­циональные объему производства необходимые, например, для строи­тельства предприятий . Задана матрица транспортных расходов , где — стоимость перевозки единицы продукции из пункта производства i в пункт потребления j.

Необходимо определить такие объемы перевозок, чтобы суммарные затраты были минимальными, т.е. требуется найти наименьшее значение функционала

где

₍₁₎

_{при условиях}

, , , (2)

₍₃₎

₍₄₎

Если все , то задача становится обычной транспортной задачей линей­ного программирования. В рассматриваемой задаче предполагается, что не все . В этом случае функционал (1) представляет собой разрывную функцию, обладающую, вообще говоря, большим числом точек минимума над областью (2) — (4).

Предполагается также, что либо для всех , либо не для всех , так как в случае для всех получаем задачу размещения с неограниченными объемами производства. Однако необходимо, чтобы суммарный объем потребления — не превышал сумму верхних/ границ объемов производств, т.е.

(5)

так как в противном случае никакие значения не удовлетворяют усло­виям (2) -(4).

Обозначим через минимальные суммарные затраты при фиксиро­вании некоторого варианта размещения , т.е.

(6)

при условиях

, , , (7)

₍₈₎

₍₉₎

Фиксирование некоторого варианта размещения производится тем, что для всех считается .).

Для фиксированного со пред­полагается выполнение условия

(10)

аналогичное условию (5).

Значение для каждого определяется решением обычной транспортной задачи линейного программирования. Таким образом, можно говорить об однозначной функции , заданной на множестве всех , для которых выполняются условия (10).

Задача, собственно, состоит в отыскании среди всех возможных подмно­жеств (вариантов размещения) пунктов производства такого подмножества (варианта) , при котором обеспечи­ваются с учетом условий (7) — (10) наименьшие суммарные затраты . Другими словами, требуется определить такое подмножество , для которого по всем , удовлетворяющим условию (10).

Анализ связи между производством и потреблением

... между производством и потреблением опосредуется путем распределения и обмена. Различают 3 уровня потребления: личное и семейное потребление; производственное потребление; общественное потребление. Производственная потребность – включает в себя потребность средств производства на предприятиях и ...

Функция не определена на множестве всех подмножеств , не удовлетворяющих условию (10).

Для определения функции на множестве всех поступим следующим образом. Соотнесем пус­тому подмножеству условный пункт производства и со cколь угодно большими постоянными транспортными расходами (сколь угодно больше ).

Так как пустое множество содержится в любом , то это означает, что условный пункт производства бу­дет содержаться в любом подмножестве (варианте размещения) пунктов производства. Поэтому в дальнейшем (чтобы не усложнять за­писи) под выражением будем понимать, что принимает не только все отличные от нуля значения элементов подмножества , но и само значение 0, соответствующее условному пункту производства. В част­ности, будет означать .

После такого введения условного пункта производства условие (4.10) будет выполняться для любого , так как величина и поэтому значение теперь может быть определено для всех . Здесь необхо­димо отметить, что в силу выбора величин значения для тех , для которых условие (10) выполняется лишь с учетом , бу­дут сколь угодно большими, а для тех , для которых это условие выполняется и без учета , наличие условного пункта производства не влияет на величину , т.е. . Отсюда, в частности, следует, что искомое подмножество будет находиться среди тех , для которых

₍₁₁₎

Таким образом, на множестве всех подмножеств множества/опреде­ляется однозначная функция и исходная задача сводится к отыска­нию такого подмножества , на котором достигает своего наи­меньшего значения , т.епо всем .

Покажем, что к решению этой задачи применим метод последовательных расчетов. Для этого достаточно установить, что функция удовлет­воряет условию

где и — произвольные подмножества .

Для доказательства рассмотрим вспомогательную функцию для всех . Можно записать

Таким образом, для каждого

Эта задача отличается от задачи 1 тем, что неко­торые предприятия являются уже действующими с мощностями , закрытие их запрещено и возможно лишь увеличение их мощностей до некоторой величины () , что влечет дополнительные затраты . Таким образом, ставится следующая задача: определить сово­купность значений , при которых достигается минимум функционала

(12)

, , , (13)

_{( 14 )}

_{( 15 )}

где — возможный объем производства предприятия .

Предполагается, что

так как в противном случае задача не имеет решения. Задача чрезвычайно упрощается, когда

или

в обоих случаях ее решение сводится к решению одной транспортной за­дачи. Поэтому будем в общем случае считать

. (16)

Обозначим через множество тех , для которых . Определим функцию на множестве всех подмножеств (считаем для , как и прежде, ).

Если для каждого полагать, что для всех (это означает, что для всех предприятий возможно расширение мощности до ), то минималь­ное значение функционала (12) для этого может быть определено так:

Функции и задачи субъекта исследования

... что, в свою очередь, повысит качество управленческой и производственной деятельности организации. Заключение В данном реферате мы рассмотрели функции и задачи субъекта исследования систем управления. В ходе анализа были даны ...

(17)

при условиях

, , , (18)

₍₁₉₎

_{для (20)}

_для

Так как с учетом пустого множества для любого выполняется не­равенство

, (22)

то методами линейного программирования определяется значение для любого . Таким образом, на множестве всех подмножеств со множест­ва I определяется однозначная функция . Следовательно, задача 2 сводится к определению такого подмножества, на котором функция принимает свое наименьшее значение, т.е. по всем при условиях (18) — (21).

Возможны два случая:

1) , т.е. и в этом случае получаем задачу 1;

2) можно записать где — элементы , расположенные в порядке возрастания

индексовi , т.е. если

В случае 2) рассмотрим задачу отыскания наименьшего значения функционала

(23)

при условиях

, , , (24)

₍₂₅₎

₍₂₆₎

где

Значения ,, определяются следующим образом.

Для всех — сколь угодно большое положи

тельное число, но в то же время т.е. сколь угодно меньше числа

Для всех при любых

Условие этой задачи полностью совпадает с условием задачи 1, и поэтому решение ее сводится к отысканию такого подмножества на котором функция достигает своего наименьшего значения

Постановка этой задачи отличается от постановки задачи 1 другим заданием функций стоимости производства предприятий. В данном случае эта функция задается некоторой ступенчатой разрывной функцией именно:

(27)

где для всех (при).

Из для всех следует, что при для всех

Таким образом, задача состоит в следующем: определить совокупность значений при которых достигается минимум функционала

(28)

где — ступенчатая разрывная функция (27) при условиях

, , , (29)

_{( 30 )}

_{( 31 )}

При получаем задачу 1.

В этой задаче предполагается, что суммарный объем продукции, выпус­каемой всеми предприятиями, задан и равен , объемы перевозок от предприятий до потребителей ограничены сверху величинами , каждый потребитель должен получить продукцию в объеме, не меньшем . Осталь­ные условия задачи 1 сохраняются.

Тогда рассматриваемая задача принимает следующий вид: определить совокупность значений , при которых достигается минимум функционала

(32)

при условиях

, , , (33)

_{( 34 )}

_{( 35 )}

(36)

Будем считать, что

Рассмотрим вначале задачу (32) -(36).

Наиболее интересен случай,

когда

Все остальные предположения о расположении величины d относительно интервала либо делают задачу несовместной, либо позволяют освободиться от усло­вия (4.53).

Действительно, если

, то ;

• при условия (33), (34), (36) несовместны;
• при условие (36) можно исключить, заменив условия (34) на

Для любого определение сводится к решению задачи (32)-(36), где везде вместо I пишется . Если d для какого-либо выйдет из интервала , то, как показано выше, либо условия (33)-(36) становятся несовместными (в этом случае полагаем ), либо освобождаемся от условия (4.53) и опреде­ление сводится к решению транспортной задачи типа 1.

» Назначение основные функции блока управления»

... автомобиля; наличие детонации; содержание кислорода в отработавших газах; наличие запроса на включение кондиционера пароль противоугонной системы на разрешение пуска двигателя. ЭСУД состоит из -блока управления; ... нормальной работы процессорной части. Кроме того, входные формирователи выполняют защитную функцию от перенапряжения. Различают формирователи дискретных, аналоговых и частотных сигналов. ...

Производственно-распределительные задачи оптимального раз­мещения предприятий и применимость метода последовательных расчетов.

5. Производственно-распределительная задача размещения пред­приятий с ограниченными объемами производства и пропускными спо­собностями коммуникаций .

Рассматривается задача нахождения наимень­шего значения функционала

(37)

при условиях

_{( 38 )}

_{( 39 )}

(40)

В отличие от задач оптимального размещения предприятий и применимость метода последовательных расчетов, здесь имеются коэффициенты , назы­ваемые коэффициентами переработки. Комбинаторная постановка за­дачи (37) — (40) состоит в определении подмножества тако­го, что

где ,

при условиях (38)-(40), в которых I заменено на .

В случае отсутствия верхних ограничений на переменные в работе показывалось, что функция удовлетворяет условию .

Для решения сформулированной задачи также применим метод последовательных расчетов.

6. Производствснно-распределительная задача размещения пред­приятий с ограничениями на суммарную продукцию.

Рассматривается за­дача нахождения наименьшего значения функционала

(41)

при условиях

₍₄₂₎

₍₄₃₎

(44)

(45)

Комбинаторная постановка задачи заключается в определении под­множества такого, что

где ,

здесь .

при условиях (41) -(45), в которых I заменено на .

Для решения этой задачи также применим метод последова­тельных расчетов.