— это отрасль математики, в которой исследуются законы случайных явлений: Случайные события, случайные переменные, их свойства и операции над ними.
Появление теории вероятностей как науки относится к средневековью и к первым попыткам математического анализа азартных игр (орлы, кости, рулетка).
Первоначально его базовые понятия не имели строго математической формы, их можно было трактовать как некие эмпирические факты, как свойства реальных событий, и они формулировались в визуальных представлениях. Яков Бернулли внес важный вклад в теорию вероятности: он предоставил доказательства закона больших чисел в простейшем случае независимых тестов. В первой половине 19 века теория вероятности начала применяться для анализа ошибок наблюдения; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад в это дело внесли русские ученые П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В то время был доказан закон больших чисел, центральная предельная теорема и теория цепей Маркова. Современный тип теории вероятностей был выигран на основе аксиоматизации, предложенной Колмогоровым Андреем Николаевичем. В результате теория вероятностей приняла строгую математическую форму и в конечном итоге стала восприниматься как один из разделов математики.
Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что массовые случайные события основываются на детерминистических законах. Теория вероятности исследует эти законы.
Например: невозможно однозначно определить результат сбрасывания «Орла» или «Хвоста», но если сделать несколько сбрасываний, то выпадет примерно одинаковое количество «Орлов» и «Хвостов».
Тест представляет собой выполнение определенного набора условий, которые могут быть воспроизведены неограниченное количество раз. В этом случае набор условий включает случайные факторы, реализация которых приводит к неоднозначности результата теста для каждого теста.
Достоверный (всегда результат теста).
Невозможно (никогда не бывает).
Столь же вероятно (та же вероятность возникновения), менее вероятно и более вероятно.
Случайность (может произойти или не произойти в результате теста).
Например: Когда кубик брошен, невозможное событие — кубик стоит на краю, случайное событие — падение с любого края, случайность — кубик стоит на прямой кромке.
Определенный результат теста называется элементарным событием.
Применение датчиков случайных чисел для имитации реальных условий
... середины квадрата, можно получить полезные результаты. Тем не менее без предварительных трудоемких вычислений ему не стоит излишне доверять. Многие датчики случайных чисел, популярные сейчас, недостаточно хороши. ... у него есть определенная вероятность оказаться в любом заданном интервале. Равномерным называется такое распределение, при котором каждое возможное число равновероятно. Каждая из десяти ...
В результате проверки происходят только элементарные события.
Сочетание всех возможных, различных, специфических результатов испытаний называется элементарным
Например: Тест — перевернуть шестигранный кубик. Элементарное событие — сбрасывание границы с «1» или «2».
Набор элементарных событий — это пространство элементарных событий.
Сложное событие — это произвольное подмножество пространства элементарных событий.
Сложное тестовое событие возникает тогда и только тогда, когда тест приводит к элементарному событию, принадлежащему сложному событию.
Таким образом, если в результате теста может произойти только одно элементарное событие, то все сложные события, составляющие эти элементарные события, происходят.
Например: Тест — это бросок кубиков.
Элементарным событием является выпадение граничного числа «1». Сложное событие — провал нечетного края.
Введите следующие описания:
- Р — случайное событие;
- Рик — событие, заслуживающее доверия;
- U — невозможное событие.
Классическое определение вероятности
Если пространство элементарных событий состоит из их конечного числа, то все элементарные события равны, т.е. ни одно из них не может быть предпочтительным перед тестом, поэтому их можно считать равными.
Если элементарные события равны и, следовательно, равны, то вероятность наступления произвольного события равна доле, числитель которой равен количеству элементарных событий, содержащихся в спецификации, и знаменателем которой является общее количество элементарных событий. Такое определение вероятности впервые дано в работах французского математика Лапласа и считается классическим.
Вероятное событие находится между нулем и единицей.
2o P(E)=1 Вероятность надежного события равна единице.
3o P(U)=0 Вероятность невозможного события равна нулю.
Рассмотрим случайный эксперимент, который может закончиться одним из возможных исходов, все из которых одинаково вероятны.
Бросаются сразу три монеты.
Определите вероятность этого:
- 3 орла выпадут;
- 2 орла и 1 хвост выпадут
- две балки и выпал орел
- Три батончика выпадают.
Частота наступления события
Пространство элементарных событий должно естественным образом состоять из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных результатов тестирования рассматриваются многие подмножества пространства элементарных событий и невозможное событие V.
Элементарная биохимия
... биохимия называлась физиологической (или медицинской) химией. : биохимия человека и животных, биохимия растений, биохимия микробов технической биохимии биохимии микроорганизмов. биохимия вирусов. клинической биохимии. эволюционную и сравнительную биохимию ... 19 века методов количественного элементарного анализа органических соединений. Вслед ... жиров и белков. Крупными событиями второй половины 18 века ...
Назовем систему этих событий F. Возьмем случайное событие A F. Выполним серию тестов в количестве n, где n — это количество тестов в каждом из которых произошло событие A.
Частота наступления события A в n экспериментах — это отношение числа наступлений этого события к общему числу проведенных экспериментов.
Разрешите результат теста для случая А. Подводя итог, можно сказать, что в этом тесте произошло событие Аи. Так как все события несовместимы парами, это означает, что никакое другое событие Aj (i j ) не может произойти в этом тесте.
С помощью теории вероятности описываются только те те тесты, для которых сделано следующее предположение: Для каждого события А частота, с которой это событие происходит в бесконечной серии тестов, имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события А.
Поэтому, когда мы рассматриваем вероятность возникновения произвольного события, то понимаем это число следующим образом: Это частота возникновения события в бесконечной (достаточно длинной) серии тестов.
К сожалению, попытка определить вероятность как предел частоты не увенчалась успехом, а количество тестов нацелилось на бесконечность. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности на основе этого определения, она не была принята из-за большого количества внутренних логических противоречий.
В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с проблемами, для которых есть не одно, а несколько различных решений. Для принятия правильных решений очень важно не пропустить ни одного из них. Для этого необходимо просмотреть все возможные варианты или, по крайней мере, рассчитать их количество. Такие задачи называются комбинаторными.
Но прежде чем мы обратимся к задаче, мы должны познакомиться с комбинаторными элементами.
Однако существует единый подход к решению разнообразных комбинаторных задач путем создания специальных правил. Внешне эта схема напоминает дерево, отсюда и название — дерево возможных вариантов. Если дерево построено правильно, то ни один из возможных вариантов решения не теряется.
Рассмотрим это в качестве примера для следующей задачи: Сколько двухзначных чисел я могу сформировать из цифр 1, 4 и 7?
Может существовать огороженная территория G, в которой находится территория g. Точка А спонтанно расположена в области G. Эта точка может войти в область g. В этом случае вероятность того, что точка A войдет в область g, определяется по формуле.
Вероятности, определяемые измерениями, называются геометрическими.
Существует целый ряд задач, где, как говорят математики, определение вероятности случайного события может быть подведено по-разному по геометрическим соображениям.
Операции по событиям
С-событие называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, которые содержатся как в A, так и в B
Обучение детей старшего дошкольного возраста элементарным представлениям ...
... в детском саду. [2] Воспитатель помогает дошкольникам понять это новое положение. Он поддерживает в детях ощущение «взрослости» и на ... значением проблемы ознакомления детей с физическими свойствами воды и воздуха, неразработанностью вопросов развития у детей элементарных ... построения предметно-развивающей среды, зависимости существования любого организма от среды обитания. Методы исследования: ...
В этом случае, если элементарное событие происходит как в A, так и в B, то оно происходит один раз в C. В результате теста возникает событие С, когда событие происходит либо в A, либо в B. Сумма любого количества событий состоит из всех элементарных событий, содержащихся в одном из Ай, i=1, …, m.
Событие С называется растением А и В, если оно состоит из всех элементарных событий, которые содержатся как в А, так и в В. Работа с любым количеством событий — это событие, состоящее из элементарных событий, которые содержатся во всех Ai, i=1, …, m.
Различие событий A-B называется событием C, которое состоит из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.
Событие называется противоположным событию A, если оно соответствует двум характеристикам.
События A и B называются несовместимыми, если они никогда не могут произойти в результате одного и того же теста и если они не имеют одинаковых элементарных событий.
События A и B считаются независимыми, если вероятность наступления одного события не зависит от наступления другого.
Заключение
Теория вероятности применялась не только в математике, но и в таких науках, как физика и статистика.
Список литературы
[Электронный ресурс]//URL: https://inzhpro.ru/referat/predelnyie-teoremyi-teorii-veroyatnostey/
- Дорофеев Г.В., «Математика», учебное пособие для общеобразовательных учреждений 5-11 градусов. Москва, 2000.
- Колмогоров Д.А., Фоссе С.Г. «Сборник задач и упражнений по теории вероятностей». Новосибирск, 1997.
- Лекционные заметки по теории вероятности. УрГПУ, 2004.
- Пугачев В.С. «Теория вероятностей и математическая статистика». Москва, 1979.
