Разрыв цепи (или непрерывный разрыв) —
где a0 — целое число и все остальные натуральные числа (положительные целые числа).
Любое вещественное число может быть представлено как непрерывная фракция (конечная или бесконечная).
Число представляется как конечная непрерывная фракция, если и только если оно рационально. Число представляется как периодическая непрерывная фракция, если и только если оно является квадратичной иррациональностью.
История цепных выстрелов
Снимки цепей были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное название непрерывной дроби встречается в 1613 году в итальянском математике Катальди. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первым описал теорию цепных выстрелов, поставил вопрос о ее использовании при решении дифференциальных уравнений, применил ее для разложения функций, для представления бесконечных работ и сделал важное обобщение.
Работа Эйлера над теорией цепных выстрелов была продолжена М. Софроновым (1729-1760), академиком В. Висковатымом (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и другими. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с непрерывными долями дифференциальных уравнений.
Алгоритм Евклида позволяет найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде непрерывной дроби. Частичные частные последовательные деления в системе уравнений получаются как непрерывные дробные элементы, поэтому непрерывные дробные элементы также называют частичными частными. Кроме того, уравнения системы показывают, что процесс разложения на цепную фракцию состоит из последовательного разделения всей части и превращения фракции.
Непрерывное фракционирование
Вторая точка зрения является более общей, чем первая, поскольку она относится к разложению не только рационального числа, но и любого действительного числа на непрерывную дробь.
Очевидно, что разложение рационального числа имеет конечное число элементов, так как евклидовский алгоритм последовательного деления a на b конечен.
Приближённые методы решения алгебраического уравнения
... Таким образом, разность с 2 -с 1 меньше любого наперёд заданного положительного числа. Это означает, что с 2 -с 1 = 0, т. е.: с 1 =с 2 =с Найденная точка интересна тем, ... первой производной функция f (x ) строго монотонна, поэтому при сделанных предположениях уравнение (1.1) имеет в точности один корень на интервале (a , b ). 2. Метод дихотомии Этот ...
Понятно, что каждая дробь цепи представляет собой определенное рациональное число, т.е. равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, нет ли разных идей одного и того же рационального числа с помощью цепного выстрела. Оказывается, их не существует, когда мы их требуем.
Непрерывный разрыв — последовательность, в которой каждое звено является регулярным разрывом, приводит к непрерывному (или цепному) разрыву, когда второе звено добавляется к первому, а каждое, начинающееся с третьего, добавляется к знаменателю предыдущего разрыва.
Каждое вещественное число может быть.
Для рационального числа это разложение прекращается, когда оно достигает нуля для некоторого n. В данном случае он представлен последним цепным выстрелом.
Для иррациональных значений все значения будут ненулевыми, и процесс разложения может продолжаться бесконечно. В этом случае представляется бесконечный разрыв цепи .
Для рациональных чисел алгоритм Евклида может быть использован для быстрого получения разложения на непрерывную фракцию.
Приблизительные реальные числа к рациональным числам
С помощью снимков цепочки Вы можете эффективно найти хорошие рациональные приближения к реальным числам. Ведь если вещественное число разбить на цепную дробь, то соответствующей доли неравенства будет достаточно.
Так, в частности:
- Подходящий снимок — это наилучшее приближение для всех точек съемки, знаменатель которых не выше ;
- Измерение иррациональности любого иррационального числа не менее 2.
Применения цепной дроби
В развитии солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое соответствует 365.2421988 … Рассчитаем подходящие дроби для доли этого числа.
Первая фракция означает, что каждые 4 года должен добавляться дополнительный день; этот принцип лежал в основе юлианского календаря. В этом случае ошибка прибавляет до 1 дня в течение 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья фракция (8/33), т.е. 8 високосных лет за 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и заложила основу персидского календаря, в котором погрешность накапливается за 1 день в течение 4500 лет (в григорианском языке — за 3280 лет).
Очень точная версия с четвертой дробью (31/128, ошибка в сутках накапливается только за 100 000 лет) была распространена немецким астрономом Иоганном фон Медлером (1864), но не вызвала большого интереса.
Другие применения:
- Доказательство иррациональности чисел. Например, иррациональность значения дзета-функции Романа была продемонстрирована с помощью цепных снимков.
- Решение в целых числах уравнения Пелла и других уравнений диофанатического анализа
- Определение заведомо трансцендентного числа (см. теорему Льювиля).
12 стр., 5524 слов
Современные способы кодирования информации в вычислительной технике. ...
... информацию можно представить с помощью различных кодов. Например, запись разговора можно зафиксировать посредством русских букв или специальных стенографических значков. По мере развития техники появлялись разные способы кодирования информации. ... аналоговой информацией, а вычислительная техника, наоборот, в основном, работает с цифровой информацией. Человек воспринимает информацию с помощью органов ...
- алгоритмы факторизации SQUFOF и CFRAC
- Характеристика ортогональных полиномов
- Характеристика стабильных полиномов
Заключение
Интересный результат, вытекающий из того, что в выражении непрерывной дроби для φ не используются целые числа больше 1, заключается в том, что φ является одним из «самых сложных» вещественных чисел, которые можно аппроксимировать рациональными числами.
Теорема Гурвиц утверждает, что каждое вещественное число k может быть аппроксимировано долей m/n, так что
Хотя почти все действительные числа k имеют бесконечно много приближений m/n, которые находятся на гораздо меньшем расстоянии от k, чем эта верхняя граница, приближения для φ (т.е. числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т.д.) достигают этой границы в предельном диапазоне, при котором расстояние от φ сохраняется почти точно, так что никогда не получаются такие хорошие приближения, как, например, 355/113 для π. Можно показать, что каждое вещественное число видов (a + bφ)/(c + dφ), a,b, c и d являются целыми числами с тем же свойством, что и золотое сечение φ; и что все остальные вещественные числа можно аппроксимировать намного лучше.
Список литературы
[Электронный ресурс]//URL: https://inzhpro.ru/referat/nepreryivnaya-drob/
- V. Я. Арнольд. Выстрелы в цепи. — M. MZNMO, 2000. — T. 14. — 40 S. — (Библиотека «Математическое просвещение»).
- Н. М. Бескин цепной выстрел // Квант. — — 1970. — — Т. 1. — — С. 16—26,62.
- Бескин Бесконечные цепные выстрелы // Квантовый. — — 1970. — Т. 8. — С. 10-20.
- D. И. Фракции Боднара Ротари. — К.: Наука, 1981 год. — — 174 с.
- А. А. Бучшта. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1965 г. — 384 с.
- И. М. Виноградов. Основы теории чисел. — М.-Л.: Государственное издание технико-теоретической литературы, 1951 г. — 180 с.
- С.Н. Гладковский. Анализ условных непрерывных фракций, х. С. Н. Гладковский. 1. — Незлобная, 2004 г. — 138 с.
- Депмен. История арифметики. Руководство для учителя. — Второй выпуск. — М.: Реконструкция 1961 г. — С. 253—254.
- Мистер Дэвенпорт. Высшая арифметика. — М.: Наука, 1963.
- С. Ви. Шизи. Лекции по теории чисел. — Екатеринбург: Уральский государственный университет. Уральский государственный университет им. А.М. Горького, 1996.
- В. Скоробогодатко. Теория разветвленных цепных выстрелов и ее применение в компьютерной математике. — М.: Наука, 1984. — 312 с.
- Я. Хинчин. Выстрелы в цепи. — M. HIFML, 1963.
