Тема проекта [ править]
Моделирование стрельбы из лука, Модель лука
Постановка задачи [ править]
Существуют статические и динамические параметры конструкции лука.
- статические параметры: сила натяжения тетивы, величина рабочего хода
- динамические параметры: скорость распрямления дуг, амплитуда и длительность колебаний в дуге
В рамках данной курсовой работы необходимо составить модель прямого лука (плечи которого в состоянии без тетивы представляют собой палку).
Интересующей нас величиной является дальность полета стрелы. Задачей является выведение и последующее рассмотрение зависимости этой дальности от вышеуказанных параметров конструкции лука.
Конкретизация:
Стоит рассмотреть две модификации лука: в первом случае можно принять тетиву за нерастяжимую нить, а плечи за плоские пружины изгиба или же за стрержни, поместив пружину между ними; во втором случае стоит учитывать растяжимость тетивы. Далее необходимо рассчитать дальность полета стрелы.
Краткий экскурс [ править]
Общий принцип
Причиной движения стрелы является переход потенциальной энергии деформируемого тела в кинетическую энергию полета снаряда. Реализация происходит посредством сравнительно медленного оттягивания тетивы, в течение которого накапливается потенциальная энергия упругости плеч лука, последующего спуска тетивы, когда плечи, разгибаясь, преобразуют накопленную энергию в кинетическую энергию полета стрелы, а также непосредственно полета стрелы, происходящего за счет полученной кинетической энергии.
Первый полет в космос
... полета на самолете. Похоронен у Кремлевской стены на Красной площади в Москве. 2.3 Мифы и правда о полете Ю. Гагарина ... летчиков - диверсия. Подоплекой было то, что Гагарин якобы стал неугоден правящей верхушке, и, пользуясь правами народного депутата, пытался ... он решил покончить с собой, тем самым, сохранив славу первого космонавта. Тренировочный полет с инструктором стал той подходящей ...
Преобразование потенциальной энергии деформируемого тела в кинетическую энергию полета стрелы
Одним из основных боевых качеств лука является его силовая характеристика — зависимость силы натяжения, прикладываемой к тетиве, от смещения тетивы из положения равновесия. Изображая данную зависимость на графике, мы получаем динамическую кривую.
Пусть силовая характеристика известна (эту зависимость нетрудно получить экспериментальным путем, оттягивая тетиву на горизонтально покоящемся луке с помощью гирек разных масс).
Тогда мы можем вычислить потенциальную энергию, накапливаемую за счет оттягивания тетивы путем взятия интеграла:
[math]\int^l_0F(s)ds[/math]
Потенциальная энергия деформируемых плеч преобразуется не только в кинетическую энергию полета стрелы, но также и в кинетическую энергию тетивы, кинетическую энергию плеч, отдачу стрелку, колебания дуги, преодоление силы трения стрелы о «полочку».
Так, необходимо ввести в рассмотрение КПД лука:
[math]\eta = \frac{T}{U}*100[/math]
Кинетическая энергия снаряда T:
[math]T = \frac{mv_0^2}{2} [/math]
[math]\eta \sim m[/math]
[math]\Rightarrow \eta[/math]
[math]\Rightarrow \quad T \searrow \quad \Rightarrow \quad \eta \searrow[/math]
Таким образом, нужно искать баланс. Опыты показывают, что КПД составляет 30% — 85%
Начальная скорость стрелы обратно пропорциональна времени, а время, в течение которого накапливается потенциальная энергия для последующего перехода в кинетическую зависит от величины рабочего хода (или же просто от смещения тетивы, если лук натягивается не до «упора»), а также от массы стрелы. В современных луках начальная скорость составляет 40 — 80 м/с.
Мощность лука
[math]P \ =\ \frac{U}{t} \quad P \sim \frac{1}{t},\quad \frac{1}{m}[/math]
[math]P \searrow[/math]
[math]v_0 \nearrow [/math]
Баллистика
Наглядное сравнение стрельбы из огнестрельного оружия и стрельбы из лука. Дело в том, что в огнестрельном оружии не учитывается баллистика, в отличие от лука и арбалета.
Рассмотрим прямой выстрел(начальная скорость направлена параллельно земле):
[math]v_0 = 800\quad [/math]
[math]t =\frac{200}{800} = \frac{1}{4}\quad [/math]
[math]h = \frac{gt^2}{2} [/math]
Таким образом, если брать в расчет высоту снайпера, то пуля не «войдет в землю» и, в зависимости от масштабов мишени, может попасть в нее.
[math]h = \frac{250}{82} = 31.25\quad [/math]
Факторы стрельбы
- дальность стрельбы (450 м — рекорд для спортивных луков);
- дальность поражения (60 — 80 м для поражения защищенного доспехами человека, 180 — 250 м для незащищенного человека)
Существует эффективная прицельная дальность стрельбы — дистанция, на которой возможно гарантированное попадание стрелы в реальную подвижную цель, не успевающую выйти из зоны поражения. Эта величина составляет примерно 30 — 40 м)
Разработка игрового Windows-приложения
... помощью стандартных графических возможностей ОС Windows. игровой приложение программный В разделе "Введение" данной курсовой работы была приведена краткая история игры "Тетрис". ... При разработке игрового приложения был использован объектно-ориентированный язык ... блоков, а примитивы, доступные в графической оболочке Windows. При разработке программы игры "Лестница в небо" для описания математической ...
Поправки
- ветер;
- подвижная цель;
Наглядное представление:
[math]v_0 \approx 1[/math]
Рассмотрим дистанцию в 40 м
[math]\tan\alpha = \frac{1}{80} = \frac{h}{40} \quad \Rightarrow\quad h = \frac{40}{80} = 0.5 [/math] , где h — смещение
Решение [ править]
Рассмотрим следующую модификацию лука:плечи приняты за стрежни, между ними находится пружина, тетива рассматривается как нерастяжимая нить
От каких параметров зависит силовая характеристика лука?
[math]M \ =\ \gamma*\triangle\varphi[/math]
[math]T*h \ =\ M =\ \gamma*\triangle\varphi[/math]
[math]T \ =\ \gamma*\frac{\triangle\varphi}{h}[/math]
[math]F \ =\ 2*T*\cos\beta \ =\ 2*\gamma*\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta[/math]
Геометрия
- Найдем [math]\angle\beta[/math] , а точнее, [math]\cos\beta[/math] :
По обобщенной теореме косинусов и при последующем упрощении получается, что [math]\cos\beta \ =\ \frac{\triangle x^2 + 2\triangle xx_0}{2\sqrt{l^2 — x_0^2}*(\triangle x + x_0)}[/math]
- Найдем h — плечо силы натяжения тетивы:
[math]h \ =\ (\triangle x + x_0)\sin\beta \quad \Rightarrow \quad h \ =\ \frac{\sqrt{4(l^2 — x_0^2)^2*(\triangle x + x_0)^2 — (\triangle x^2 + 2\triangle xx_0)^2}}{2\sqrt{l^2 — x_0^2}}[/math]
- Найдем [math]\triangle \varphi[/math] :
[math]\varphi \ =\ \chi — \gamma \ =\ 2*(\arcsin(\frac{\sqrt{l^2 — x_0^2}}{l^2}*(\sqrt{l^2 — (l^2 — x_0^2)\sin\beta^2}) -\sin\beta*x_0)))[/math]
- Найдем [math]\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta[/math] :
[math]\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta \ =\ \frac{\triangle x^2 + 2\triangle xx_0}{(\triangle x + x_0)\sqrt{4(l^2 — x_0^2)(\triangle x + x_0)^2 — (\triangle x + 2\triangle xx_0)^2}}*2\arcsin(\frac{\sqrt{l^2 — x_0^2}}{l^2}*(\sqrt{l^2 — (l^2 — x_0^2)\sin\beta^2}) -\sin\beta*x_0))[/math]
Нахождение силовой характеристики лука
[math]F = F(\triangle x) \ =\ \frac{\partial F}{\partial 0}(0)\triangle x+ \frac{1}{2}*\frac{\partial^2F}{\partial \triangle x^2}(0)(\triangle x)^2 + \frac{1}{6}*\frac{\partial^3F}{\partial \triangle x^3}(0)(\triangle x)^3[/math]
Проведенные расчеты показали, что [math]\frac{\partial F}{\partial 0}(0) \ =\ 0 ;\quad \frac{\partial^2F}{\partial \triangle x^2}(0) \ =\ 0[/math]
[math]\frac{\partial^3F}{\partial \triangle x^3}(0) \ =\ \frac{12\gamma(l^2 — 2x_0^2)}{l^2x_0^2\sqrt{(l^2 — x_0^2)}} [/math]
[math]F(\triangle x) \ =\ \frac{2\gamma(l^2 — 2x_0^2)}{l^2x_0^2(l^2 — x_0^2)}*\triangle x^3[/math]
Решение задачи на непосредственно нахождение дальности полета стрелы
Весь процесс стрельбы из лука можно разделить на два этапа: натяжение тетивы и полет выпущенной стрелы. Для нахождения интересующей нас дальности полета стрелы необходимо знать начальную скорость, с которой выпущена стрела. Для нахождения же этой скорости необходимо рассматривать процесс натяжения тетивы. Итак, рассмотрим два этапа.
Содержит страниц рисунков таблиц
... обусловлена высокой наукоёмкостью производства, необходимостью применения специального дорогостоящего оборудования и сырья, а следовательно развитого промышленного производства и научной ... Лодки из стеклопластика Автомобильные покрышки Металлокомпозиты Спортивное оборудование Машиностроение В машиностроении композиционные материалы широко применяются для создания защитных покрытий ...
- Этап натяжения тетивы
[math]F\ =\ mw[/math]
С другой стороны, сила равна найденной величине: [math]F(\triangle x) \ =\ \frac{2\gamma(l^2 — 2x_0^2)}{l^2x_0^2\sqrt{(l^2 — x_0^2)}}*\triangle x^3[/math]
Отсюда можно найти ускорение, переданное стреле:
[math]w \ =\ \frac{2\gamma(l^2 — 2x_0^2)}{ml^2x_0^2\sqrt{(l^2 — x_0^2)}*\triangle x^3}[/math]
[math]\triangle x \ =\ \frac{1}{2}wt^2 + x_0 \quad \Rightarrow \quad w \ =\ \frac{2\gamma(l^2 — 2x_0^2)}{ml^2x_0^2\sqrt{(l^2 — x_0^2)}*\triangle x^3}*(\frac{1}{8}w^3t^6 + x_0^3)[/math]
[math]v_0 \ =\ wt \ =\ \frac{2\gamma(l^2 — 2x_0^2)}{ml^2x_0^2\sqrt{(l^2 — x_0^2)}*\triangle x^3}*(\frac{1}{8}w^3t^6 + x_0^3)*t[/math]
Выразим одну неизвестную величину через другую (ускорение через время).
В луке величину квадрата начального смещения, а также куб этой величины можно cчитать малой в сравнении со степенями величины длины плеча лука.
[math]w \ =\ \frac{2lx_0\sqrt{m}}{t^3\sqrt{\gamma}}[/math]
[math]v_0 \ =\ \frac{2\sqrt{m}lx_0}{t^2\sqrt{\gamma}}[/math]
[math]t \ =\ \frac{lx_0\sqrt{m}}{\triangle x \sqrt{\gamma}}[/math]
[math]v_0 \ =\ \frac{2\sqrt{\gamma}\triangle x^2}{lx_0\sqrt{m}}[/math]
- Этап полета стрелы
[math]s \ =\ v_0\cos\alpha*t[/math]
Найдем время полета стрелы.
[math]g \ =\ \frac{v_0\sin\alpha}{t/2} \quad \Rightarrow \quad t \ =\ \frac{4\sqrt{\gamma}\triangle x^2\sin\alpha}{lx_0\sqrt{m}g}[/math]
[math]s \ =\ v_0\cos\alpha\frac{4\sqrt{\gamma}\triangle x^2\sin\alpha}{lx_0\sqrt{m}g} \ =\ \frac{4\gamma\triangle x^4\sin2\alpha}{l^2x_0^2mg}[/math]
Рассмотрим модификацию лука, когда тетива принимается за растяжимую нить
[math]\angle\beta[/math]
[math]T \ =\ c*\triangle p \ =\ c*(p — p_0)[/math]
Для вычисления длины нити в промежуточный момент времени мы введем систему из трех уравнений. Первое уравнение заключается в обобщенной теореме Пифагора,второе уравнение получается из рассмотрения статического равновесия в середине тетивы (месте приложения силы, действующей на стрелу), а третье из рассмотрения положения статического равновесия системы тетива — плечо лука в некоторый момент времени.
Итак, [math]p^2 \ =\ (\triangle x + x_0)^2 + l^2 — 2*(\triangle x + x_0)l\cos(\chi — \frac{\triangle\varphi}{2})\quad[/math]
[math]M \ =\ Th \quad \Rightarrow \quad \gamma\triangle\varphi \ =\ c(p — \sqrt{l^2 — x_0^2})*h[/math]
Так, [math]p^2 \ =\ \frac{(\gamma\triangle\varphi)^2}{c^2} + (\triangle x + x_0) — l\cos(\chi — \frac{\triangle\varphi}{2})[/math]
[math]F \ \ = 2T\cos\beta \ =\ 2c(p — \sqrt{l^2 — x_0^2}\cos\beta)[/math]
[math]c \ =\ \frac{\gamma\triangle\varphi}{h(p — \sqrt{l^2 — x_0^2}}[/math]
Решение системы получается весьма нетривиальным, а потому можно прибегнуть к упрощению полученного уравнения для величины угла смещения плеч. Упрощение происходит посредством отбрасывания малых величин.
Технология выращивания и хранения лука (2)
... системы биологически полезно, так как оно предохраняет лук, зимующий в поле, от вымерзания. Но чтобы уменьшить потери при хранении лука в помещениях, уборку следует начинать раньше, чем ... в котором скапливается углекислота, выделяемая при дыхании овощей, что также ухудшает условия хранения. Поэтому хранилище целесообразно оборудовать приточной и вытяжной вентиляцией и регулировать ее работу. ...
Уравнение для силы, действующей на стрелу, выглядит следующим образом: [math]F \ =\ 4\gamma*\arccos(\frac{\sqrt{l^2 — x_0^2}}{l}*\sqrt{1 + \frac{l}{2(\triangle x + x_0)}})*\frac{\sqrt{4(\triangle x + x_0)^2 + l^2}}{l(\triangle x + x_0)})[/math]
Случай малых углов
[math]\angle\kappa[/math]
[math]\triangle x[/math]
[math]\triangle x + x_0 \ =\ p\sin\kappa + l\sin\xi[/math]
Выразим малые углы через известные:
[math]\angle\kappa \ =\ \frac{\pi}{2} — \beta[/math]
[math]\angle\xi \ =\ \frac{\pi}{2} — \arcsin(\frac{p}{l}\sin\beta)[/math]
[math]\triangle x \ =\ \frac{\pi}{2}(l — p) — x_0[/math]
Сила, прикладываемая к середине тетивы, в таком случае выражается следующим образом:
[math]F \ =\ \frac{2\gamma(l^2 — 2x_0^2)}{l^2x_0^2(l^2 — x_0^2)}*(\frac{\pi}{2}(l — \sqrt{l^2 — x_0^2})- x_0)^3[/math]
Дальность же полета окажется равной:
[math]s \ =\ \frac{4\gamma\triangle x^4\sin2\alpha}{l^2x_0^2mg}\ =\ \frac{4\gamma(\frac{\pi}{2}(l — \sqrt{l^2 — x_0^2}) — x_0)^4\sin2\alpha}{l^2x_0^2mg}[/math]
Небольшое исследование зависимостей в полученной модели
[math]P \ =\ \frac{U}{t}[/math]
Интегрирование полученного выражения для силы натяжения тетивы по смещению даст следующее выражение для мощности:
[math]P \ =\ v_0*\frac{F}{4}[/math]
[math]U \ =\ \frac{F*\triangle x}{4}[/math]
[math]v_0 \ =\ \frac{\triangle x}{t}[/math]
[math]m \ =\ \eta *\frac{2U}{v_0^2}[/math]
[math]m \ =\ \eta*\frac{F*\triangle x}{2*v_0^2}[/math]
[math]m \ = \eta*\frac{F*t^2}{2*\triangle x}[/math]
Нахождение изгибающего момента в сечении плеча лука
[math]M \ =\ EI(K — K_0)[/math]
[math]K \ =\ \frac{y^{\prime\prime}}{\sqrt{((1 + (y^\prime)^2)^3)}}[/math]
[math]K \ =\ \frac{1}{r} \ =\ ms[/math]
[math]y^\prime \ =\ \sqrt{\frac{m^2*(\frac{s^2 + 2c_1}{2})^2}{1 — m^2*(\frac{s^2 + 2c_1}{2})^2 }}[/math]
Обсуждение результатов и выводы [ править]
Искусство стрельбы из лука. Фролова Ксения.(скачать презентацию: ppt, )
Также в качестве исследования нужно было рассмотреть тетиву как нерастяжимую нить и как растяжимую, выяснив, что более влияет на полет стрелы при спуске — сила упругости плеч или же тетивы лука. Полученные результаты показали, что величина силы, действующей на стрелу при спуске различна для этих случаев. В следствие этого можно сделать вывод, что пренебрегать удлинением нити не следует.
Используя полученную модель лука, мы четко видим поведение стрелы в предельных случаях. При стрельбе из лука в горизонтальном направлении мы получаем нулевую дальность, равно, как и при вертикальной стрельбе. Реально же дальность полета снаряда зависит от высоты человека (расстояния от земли до уровня середины тетивы, в месте которой прикладывается сила).
Технология выращивания луковичных культур: лилии и репчатого лука
... которому относятся почти все виды, используемые в цветоводстве, делится на четыре секции Лук репчатый - двух-, трехлетнее, однодольное, перекрестноопыляющееся, травянистое растение семейства луковые ,образующее ... состоящей из толстостенных клеток, в середине - белых, мучнистых. Корневая система лука репчатого сильно мочковатая, слаборазвитая. Количество корней достигает 4,5 тыс., общая длина ...
Также из полученной модели видно, что при малых углах (малом оттягивании тетивы от положения равновесия), дальность полета — малая величина. При обращении же величины смещения тетивы в ноль, дальность полета оказывается также равной нулю, то есть, полета стрелы не будет.
Ссылки по теме [ править]
См. также [ править]
