Проведем более точное исследование ПИ — регулятора при частоте:
- диапазон изменения частоты;
Таблица 18 — Результаты расчёта параметров настройки ПИ-регулятора по расширенным частотным характеристикам
Коэффициенты передачи ПИ — регулятора и , будем выбирать, при максимальном значении коэффициента передачи И — составляющей. Таким образом, при: , , .
Для дальнейших расчетов выберем коэффициенты ,, :
Таблица19 — Значения коэффициентов передачи для различного типа регуляторов
|
Коэффициент передачи |
Вид регулятора: |
|||
|
П |
И |
ПИ |
||
|
— |
0,374 |
0,710 |
||
|
1,537 |
— |
0,861 |
||
6 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
6.1 Разомкнутые системы
Разомкнутыми системами называются такие системы, в которых отсутствует обратная связь между выходом объекта и входом устройства управления.
Различают разомкнутые системы автоматического управления, у которых управление осуществляют по задающему извне воздействию, а также системы, где управление осуществляется по возмущению. Наиболее перспективными являются системы, управление которых производят по задающему воздействию и по возмущению.
Структурная схема разомкнутой САУ изображена на рисунке 14.
Рисунок 13 — Структурная схема разомкнутой системы
Передаточной функцией такой системы будет следующее выражение:
Где:
- передаточная функция объекта,
- передаточная функция регулятора.
В нашем случае передаточная функция объекта имеет вид:
Передаточные функции регуляторов:
1. Для П — регулятора:
2. Для И — регулятора:
3. Для ПИ — регулятора:
6.2 Замкнутые системы
В этих системах устройство управления исключает все отклонения выходной величины, вызванные любыми возмущениями, а также внешними и внутренними помехами. Замкнутая система представляет собой замкнутый контур из устройства управления и объекта. При этом имеется обратная связь, связывающая выход системы с входом. Ее наличие и обуславливает почти стопроцентную точность управления.
Структурная схема замкнутой САУ изображена на рисунке 15:
Рисунок 14 — Структурная схема замкнутой системы
Передаточной функцией такой системы будет следующее выражение:
1. по возмущению
;
2. по управлению
Подставив все известные выражения передаточных функций объекта регулирования и регуляторов, получим передаточные функции систем с различными регуляторами:
- c П — регулятором:
- c И — регулятором:
;
- c ПИ — регулятором:
7 ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
7.1 Постановка задачи
Система автоматического регулирования как динамическая система, характеризуется переходным процессом, возникающем в системе при нарушении ее равновесия любым возмущением. Основной динамической характеристикой системы регулирования является ее устойчивость или неустойчивость.
Исследование замкнутых АСР на устойчивость предполагает получение ответов на следующие вопросы. Является ли система с рассчитанным регулятором устойчивой, то есть, возвращается ли она в состояние равновесия при наличии возмущений? Какие из параметров системы (объекта и регулятора) и каким образом влияют на устойчивость? При каких предельных значениях параметров система становится неустойчивой? Каков запас устойчивости системы при заданных значениях параметров?
7.2 Методы исследования САУ на устойчивость
Для исследования на устойчивость замкнутых САУ разработано множество методов:
определение устойчивости по корням характеристического уравнения, по критерию Гурвица, по критерию Рауса, по частотному критерию Михайлова, по частотному критерию Найквиста и другие.
Передаточную функцию замкнутой системы можно представить в виде:
Где и — полиномы по степеням .
Уравнение — характеристическое уравнение системы, описывающее невозмущенное состояние.
Если все действительные корни характеристического уравнения и действительные части комплексных корней будут отрицательны, то система под воздействием любого возмущения, после его снятия, возвратится в исходное состояние, а значит, система будет устойчивой.
Критерий Гурвица
При оценке устойчивости из коэффициентов характеристического уравнения составляется определитель Гурвица вида:
Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы полный определитель Гурвица и все частные определители, образованные вычеркиванием соответствующих строк и столбцов были одного знака с .
Критерий Рауса
Для проверки устойчивости составляется таблица коэффициентов по правилам, приведенным в таблице 20.
Таблица 20 — Критерий Рауса
|
— |
||||
|
— |
||||
Система будет устойчива, если все коэффициенты таблицы Рауса положительны, то есть , , , , и так далее. Если в характеристическом уравнении , то умножаем все коэффициенты исходного характеристического уравнения на -1.
Критерий Михайлова
При исследовании устойчивости строится годограф характеристического уравнения замкнутой системы. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф при изменении частоты от 0 до , начиная с положительной действительной полуоси и двигаясь против часовой стрелки, последовательно проходил квадрантов (где — порядок полинома), нигде не обращаясь в нуль.
Критерий устойчивости Найквиста
Данный критерий формулируется следующим образом: если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывала точку на действительной оси с координатами . Расстояние от этой точки до точки пересечения годографа с действительной осью называется запасом устойчивости.
Необходимо отметить, что при исследованиях на устойчивость по критериям Михайлова и Найквиста рассчитываются и строятся графики АФХ характеристического уравнения (критерий Михайлова) или разомкнутой АСР (критерий Найквиста), что является трудоемкой задачей. Поэтому для построения АФХ используется ЭВМ.
7.3 Проверка устойчивости САУ по критерию Рауса
7.3.1 Замкнутая система с П — регулятором
Для замкнутой системы с П — регулятором составим таблицу 21, подставив в соответствующие ячейки коэффициенты при из знаменателя передаточной характеристики системы:
Используя правила из таблицы 20, составим таблицу 21
Таблица 21 — Критерий Рауса для системы с П — регулятором
|
Коэффициенты ri |
Номера столбцов |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
||
|
— |
0,004 |
0,378 |
1,654 |
0 |
|
|
— |
0,056 |
1,723 |
3,178 |
0 |
|
|
0,071 |
0,256 |
1,428 |
0 |
0 |
|
|
0,219 |
1,410 |
3,178 |
0 |
0 |
|
|
0,182 |
0,850 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1,659 |
3,178 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0,267 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Из таблицы 21 видно, что замкнутая система с П — регулятором устойчива, так как выполняется необходимое условие устойчивости по критерию Рауса.
7.3.2 Замкнутая система с И — регулятором
Аналогично правилам таблицы 20 составим таблицу 22 для замкнутой системы с И — регулятором, характеристическое уравнение которого имеет вид:
Таблица 22 — Критерий Рауса для системы с И — регулятором
|
Коэффициенты ri |
Номера столбцов |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
||
|
— |
0,004 |
0,387 |
2,308 |
0,530 |
|
|
— |
0,056 |
1,616 |
0,847 |
0 |
|
|
0,071 |
0,272 |
2,248 |
0,530 |
0 |
|
|
0,206 |
1,153 |
0,738 |
0 |
0 |
|
|
0,236 |
2,074 |
0,530 |
0 |
0 |
|
|
0,556 |
0,443 |
0 |
0 |
0 |
|
|
4,682 |
0,530 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0,836 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Из таблицы 22 видно, что замкнутая система с И — регулятором устойчива, так как выполняется необходимое условие устойчивости по критерию Рауса.
7.3.3 Замкнутая система с ПИ — регулятором
Аналогично правилам таблицы 20 составим таблицу 23 для замкнутой системы с ПИ — регулятором, характеристическое уравнение которого имеет вид:
Таблица 23 — Критерий Рауса для системы с ПИ — регулятором
|
Коэффициенты ri |
Номера столбцов |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
||
|
— |
0,004 |
0,382 |
1,979 |
1,006 |
|
|
— |
0,056 |
1,673 |
1,093 |
0 |
|
|
0,071 |
0,263 |
1,901 |
1,006 |
0 |
|
|
0,213 |
1,268 |
0,879 |
0 |
0 |
|
|
0,207 |
1,693 |
1,006 |
0 |
0 |
|
|
0,749 |
0,126 |
0 |
0 |
0 |
|
|
13,437 |
1,006 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0,125 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Из таблицы 23 видно, что замкнутая система с ПИ — регулятором устойчива, так как выполняется необходимое условие устойчивости по критерию Рауса.
7.4 Проверка устойчивости систем по частотному критерию Найквиста
7.4.1 Разомкнутая система с П — регулятором
Для исследования системы по критерию Найквиста образуем передаточную функцию, построим годограф АФХ разомкнутой системы и исследуем ее поведение в окрестности точки с координатами .
Передаточная функция данной системы образуется следующим образом:
— диапазон изменения чатоты;
— замена p на комплексную величину i?;
— передаточная функция разомкнутой системы;
— действительная составляющая;
— мнимая составляющая;
Рисунок 15 — Годограф Найквиста П — регулятора
Из рисунка 15, видно, что годограф не охватывает точку с координатами , следовательно, разомкнутая система с П — регулятором является устойчивой, так как выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Найквиста.
7.4.2 Разомкнутая система с И — регулятором
Передаточная функция данной системы образуется следующим образом:
— диапазон изменения чатоты;
— замена p на комплексную величину i?;
Рисунок 16 — Годограф Найквиста И — регулятора
Из рисунка 16, видно, что годограф не охватывает точку с координатами , следовательно, разомкнутая система с И — регулятором является неустойчивой, так как выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Найквиста.
7.4.3 Разомкнутая система с ПИ-регулятором
— диапазон изменения чатоты;
— замена p на комплексную величину i?;
— передаточная функция разомкнутой системы;
— действительная составляющая;
— мнимая составляющая;
Рисунок 17 — Годограф Найквиста ПИ — регулятора
Из рисунка 17, видно, что годограф не охватывает точку с координатами, следовательно, разомкнутая система с ПИ — регулятором является устойчивой, так как выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Найквиста.
7.5 Проверка устойчивости САУ по корням характеристического уравнения
Для определения устойчивости системы необходимо вычислить корни полинома знаменателя (характеристического уравнения).
Для этого выделим полином знаменателя, воспользовавшись системой аналитических преобразований и образуем вектор коэффициентов этого полинома A3. Для нахождения воспользуемся функцией polyroots(X).
7.5.1 Замкнутая система с П — регулятором по возмущению
Составим вектор коэффициентов:
Анализ корней показывает, что система устойчива, поскольку все корни расположены в левой полуплоскости.
7.5.2 Замкнутая система с И — регулятором по возмущению
Составим вектор коэффициентов:
Анализ корней показывает, что система устойчива, поскольку все корни расположены в левой полуплоскости.
7.5.3 Замкнутая система с ПИ — регулятором по возмущению
Составим вектор коэффициентов:
Анализ корней показывает, что система устойчива, поскольку все корни расположены в левой полуплоскости.
7.6 Проверка устойчивости САУ по критерию устойчивости Гурвица
Система, описываемая передаточной функцией:
или линейным дифференциальным уравнением:
будет устойчивой, если все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части. А для этого необходимо и достаточно, чтобы определитель А. Гурвица (1895 г.), составленный в следующем виде:
и все его диагональные миноры:
; ,
и.т.д. были одного знака с . При выборе знака определитель Гурвица и все его диагональные миноры должны бать положительны.
Как следствие этого, необходимое условие устойчивости будет следующие, что все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительны.
7.6.1 Замкнутая система с П — регулятором по управлению
Общий вид передаточной функции замкнутой системы с П — регулятором по управлению:
По результатам расчёта все миноры определителя Гурвица , , и вместе с коэффициентом положительны, значит замкнутая система, описываемая этой передаточной функцией, устойчива.
7.6.2 Замкнутая система с И — регулятором по управлению
Общий вид передаточной функции замкнутой системы с И — регулятором по управлению:
По результатам расчёта все миноры определителя Гурвица , , и вместе с коэффициентом положительны, значит замкнутая система, описываемая этой передаточной функцией, устойчива.
7.6.3 Замкнутая система с ПИ — регулятором по управлению
Общий вид передаточной функции замкнутой системы с ПИ — регулятором по управлению:
По результатам расчёта все миноры определителя Гурвица , , и вместе с коэффициентом положительны, значит замкнутая система, описываемая этой передаточной функцией, устойчива.
7.7 Проверка устойчивости САУ по частотному критерию Михайлова
Для исследования устойчивости замкнутой системы по критерию Михайлова строится годограф вектора характеристического уравнения знаменателя замкнутой системы при изменении частоты от до . Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от до , начав свое движение с положительной действительной полуоси и вращаясь против часовой стрелки, последовательно проходил квадрантов, нигде не обращаясь в нуль (где — порядок характеристического уравнения).
Таким образом, для исследования системы на устойчивость по критерию Михайлова необходимо построить годограф знаменателя передаточной функции замкнутой системы и по его виду оценить ее устойчивость.
Необходимо заметить, что для адекватного отображения годографа в области малых и больших частот часто приходиться строить несколько вариантов этого годографа в различных диапазонах частот, чтобы просмотреть его поведение во всем диапазоне.
7.7.1 Замкнутая система с П — регулятором по возмущению
Общий вид передаточной функции замкнутой системы с П — регулятором по возмущению:
— диапазон изменения чатоты;
— замена p на комплексную величину i?;
— знаменатель передаточной функции;
— действительная составляющая;
— мнимая составляющая;
Рисунок 18 — Годограф Михайлова разомкнутой системы с П — регулятором в интервале частот [0;2]
Изменим диапазон частоты: и покажем, что годограф разомкнутой системы с П — регулятором проходит все 5 квадрантов.
Рисунок 19 — Годограф Михайлова разомкнутой системы с П — регулятором в интервале частот [2;9,5]
Из рисунков 18 и 19 видно, годограф проходит 5 квадрантов, начав свое движение с положительной действительной полуоси, вращаясь последовательно против часовой стрелки нигде не обращаясь в нуль. Таким образом, замкнутая система с П — регулятором является устойчивой, так как выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Михайлова.
7.7.2 Замкнутая система с И — регулятором по возмущению
Общий вид передаточной функции замкнутой системы с ПИ — регулятором по возмущению:
— диапазон изменения чатоты;
— замена p на комплексную величину i?;
— знаменатель передаточной функции;
— действительная составляющая;
— мнимая составляющая;
Рисунок 20 — Годограф Михайлова разомкнутой системы с И — регулятором в интервале частот [0;2,5]
Изменим диапазон частоты: и покажем, что годограф разомкнутой системы с И — регулятором проходит все 6 квадрантов.
Рисунок 21 — Годограф Михайлова разомкнутой системы с И — регулятором в интервале частот [2,5; 9,5]
Из рисунков 20 и 21 видно, годограф проходит 6 квадрантов, начав свое движение с положительной действительной полуоси, вращаясь последовательно против часовой стрелки нигде не обращаясь в нуль. Таким образом, замкнутая система с И — регулятором является устойчивой, так как выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Михайлова.
7.7.3 Замкнутая система с ПИ — регулятором по возмущению
Общий вид передаточной функции замкнутой системы с ПИ — регулятором по возмущению:
— диапазон изменения чатоты;
— замена p на комплексную величину i?;
— знаменатель передаточной функции;
— действительная составляющая;
— мнимая составляющая;
Рисунок 22 — Годограф Михайлова разомкнутой системы с ПИ — регулятором в интервале частот [0;2,5]
Изменим диапазон частоты: и покажем, что годограф разомкнутой системы с ПИ — регулятором проходит все 6 квадрантов.
Рисунок 23 — Годограф Михайлова разомкнутой системы с ПИ — регулятором в интервале частот [2,5; 9,5]
Из рисунков 22 и 23 видно, годограф проходит 6 квадрантов, начав свое движение с положительной действительной полуоси, вращаясь последовательно против часовой стрелки нигде не обращаясь в нуль. Таким образом, замкнутая система с ПИ — регулятором является устойчивой, так как выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Михайлова.
8.1 Постановка задачи. Методы решения
Чтобы окончательно убедиться в пригодности САУ нужно исследовать результаты их переходных процессов. Поэтому на завершающей стадии проектирования САУ всегда стремя тся тем или иным способом получить оценки динамических характеристик системы и сравнить их с заданными.
Переходные процессы рассчитывают для замкнутых САУ по возмущающему и управляющему воздействиям. Если переходные процессы рассчитываются для замкнутых САУ по возмущению, то регулятор должен в течение переходного процесса скомпенсировать это возмущение, а объект — вернуться в исходное состояние, в котором он был до приложения возмущения. Если же переходные процессы рассчитываются для замкнутых САУ по управлению, то регулятор должен отработать управляющее воздействие и регулируемая величина на выходе объекта должна принять заданное значение.
Для построения переходных процессов, используя при этом любые методы (аналитические, численные), необходимо иметь математическую модель замкнутой системы в форме передаточной функции или дифференциального уравнения (ДУ).
Если передаточная функция замкнутой системы приведена к ДУ с произвольной правой частью, то аналитическое решение ищется в следующей последовательности:
- находятся корни характеристического уравнения;
- строится частное решение с неопределенными коэффициентами;
- полученное частное решение подставляется в исходное уравнение;
- после приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях находятся все неопределенные коэффициенты;
- записывается искомое частное решение.
Это решение и будет являться зависимостью выходной координаты системы от времени.
При использовании численных методов для построения переходных процессов необходимо:
- передаточную функцию замкнутой системы преобразовать в ДУ;
- ДУ порядка привести к нормальной системе, состоящей из ДУ первого порядка;
- задать уравнение для возмущающего воздействия;
- выбрать один из численных методов для решения полученной системы;
- составить программу на ЭВМ для решения полученной системы ДУ и построения переходных процессов.
Для решения поставленной задачи используются следующие методы:
1) Метод Эйлера;
Интегрирование ДУ этим методом аналогично вычислению определенного интеграла по методу левых прямоугольников:
2) Модифицированный метод Эйлера
Аналогично методу средних прямоугольников:
Недостатком данного метода являются двойные затраты на решение.
3) Усовершенствованный метод Эйлера-Коши
Аналогично методу трапеций:
4) Метод Эйлера — Коши с итерациями
В данном методе приближенное решение используется для уточнения этого же решения (подстановка в правую часть), эта итерация продолжается до обеспечения требуемой точности; если точность не достигается за заданное количество итераций, то либо нужно изменить дополнительное число итераций, либо уменьшить требуемую точность;
5) Методы с автоматическим выбором величины шага (адаптивные)
Во всех численных методах точность зависит от величины шага, в то же время искомое решение изменяется с разной скоростью внутри интервала. Для численных методов необходимо выбрать разный шаг на разных участках изменения функции, чтобы обеспечить на них одинаковую точность. В этих методах решение на каждом шаге находится дважды: с исходным шагом и с шагом, в два раза меньшим. Эти два решения сравниваются, и если точность не достигнута, то исходный шаг уменьшается вдвое и процедура повторяется; таким образом, каким бы ни был исходный шаг, машиной выберется шаг в соответствии с заданной точностью. В такой процедуре шаг может быть выбран исключительно малым и прохождение всего интервала с таким шагом может оказаться неэффективным, поэтому на следующем шаге выполняется обратная процедура. Решение находится с этим же шагом и с шагом в два раза большим; если точность достаточна, то шаг увеличивается еще вдвое. Таким образом, величина шага однозначно определяется величиной дополнительной погрешности получения решения;
6) Метод Рунге — Кутта:
7) Экстраполяционные методы
В основе этих методов лежит получение решения в последующей точке через найденные решения в предыдущих точках;
8) Методы решения для жестких систем (метод Гира, метод Штера, метод Булирша)
Для этого вычисляется матрица Якоби:
8.2 Построение переходных процессов в замкнутых системах по возмущению
8.2.1 Система с П — регулятором
Запишем передаточную функцию данной системы:
По аналогии с п.5 преобразуем полученную передаточную функцию в ДУ пятого порядка и приведем его к нормальной системе. После этого зададим нормальную систему в виде вектора.
Запишем нормальную систему и решим её:
Полученные результаты отобразим на рисунке 24.
Рисунок 24 — График переходного процесса в замкнутой системе с П — регулятором по возмущению
8.2.2 Система с И — регулятором
Запишем передаточную функцию данной системы:
По аналогии с п.5 преобразуем полученную передаточную функцию в ДУ шестого порядка и приведем его к нормальной системе. После этого зададим нормальную систему в виде вектора.
Запишем нормальную систему и решим её:
Полученные результаты отобразим на рисунке 25.
Рисунок 25 — График переходного процесса в замкнутой системе с И — регулятором по возмущению
8.2.3 Система с ПИ — регулятором
Запишем передаточную функцию данной системы:
По аналогии с п.5 преобразуем полученную передаточную функцию в ДУ шестого порядка и приведем его к нормальной системе. После этого зададим нормальную систему в виде вектора.
Запишем нормальную систему и решим её:
Полученные результаты отобразим на рисунке 26.
Рисунок 26 — График переходного процесса в замкнутой системе с ПИ — регулятором по возмущению
8.3 Построение переходных процессов в замкнутых системах по управлению
8.3.1 Система с П — регулятором
Запишем передаточную функцию данной системы:
По аналогии с п.5 преобразуем полученную передаточную функцию в ДУ пятого порядка и приведем его к нормальной системе. После этого зададим нормальную систему в виде вектора.
Запишем нормальную систему и решим её:
Полученные результаты отобразим на рисунке 27.
Рисунок 27 — График переходного процесса в замкнутой системе с П — регулятором по управлению
8.3.2 Система с И — регулятором
Запишем передаточную функцию данной системы:
По аналогии с п.5 преобразуем полученную передаточную функцию в ДУ шестого порядка и приведем его к нормальной системе. После этого зададим нормальную систему в виде вектора.
Запишем нормальную систему и решим её:
Полученные результаты отобразим на рисунке 28.
Рисунок 28 — График переходного процесса в замкнутой системе с И — регулятором по управлению
8.3.3 Система с ПИ — регулятором
Запишем передаточную функцию данной системы:
По аналогии с п.5 преобразуем полученную передаточную функцию в ДУ шестого порядка и приведем его к нормальной системе. После этого зададим нормальную систему в виде вектора.
Запишем нормальную систему и решим её:
Полученные результаты отобразим на рисунке 29.
Рисунок 29 — График переходного процесса в замкнутой системе с ПИ — регулятором по управлению
9 ОЦЕНКА КАЧЕСТВА РАБОТЫ САУ
9.1 Постановка задачи. Критерии качества переходных процессов
Любая система автоматического регулирования, для того чтобы удовлетворять своему назначению, прежде всего, должна быть устойчивой. Однако устойчивость является необходимым, но недостаточным условием технической пригодности системы регулирования. Помимо устойчивости, к переходному процессу предъявляются требования, обуславливающие его так называемые показатели.
Качество функционирования АСР оценивается прямыми показателями оценки качества переходных процессов в замкнутой АСР. К ним относятся:
Соответственно основными критериями качества системы управления являются:
1) Устойчивость системы;
2) Максимальная динамическая ошибка
3) Статическая ошибка;
4) Время регулирования ;
5) Величина перерегулирования;
6) Степень затухания переходного процесса;
7) Степень колебательности.
Как всякая динамическая система, САУ может находиться в одном из двух режимов — стационарном (установившемся) и переходном. Стационарный режим может быть двух типов: статический и динамический. В статическом режиме, при котором все внешние воздействия и параметры системы не меняются, качество управления характеризуется точностью.
Исчерпывающее представление о качестве переходного процесса дает, естественно, сама кривая процесса. Однако при разработке САУ необходимо иметь возможность судить об основных показателях качества переходного процесса без построения их кривых, по каким-либо косвенным признакам, которые определяются более просто и, кроме того, позволяют связать показатели качества непосредственно со значениями параметров САУ. Такие косвенные признаки называются критериями качества переходного процесса.
Существуют три группы критериев качества: корневые, интегральные и частотные.
Группа корневых критериев основана на оценке качества переходного процесса по значениям полюсов и нулей передаточной функции САУ. В частном случае, когда нулей нет, качество переходного процесса определяется только полюсами.
Переходный процесс в устойчивой системе распадается на затухающие и колебательные составляющие. Если найти длительность самой длительной составляющей и величину колебательности самой колебательной составляющей, то по ним можно оценить верхние пределы величин длительности и колебательности всего переходного процесса.
Интегральными критериями качества называются такие, которые одним числом оценивают и величины отклонений, и время затухания переходного процесса. Такие критерии качества используются для определения оптимальных значений варьируемых параметров по минимуму значения соответствующей интегральной оценки. Применяются интегральные критерии обычно в теории оптимальных систем.
Наибольшее распространение получили частотные критерии, в основу которых положено использование частотных характеристик.
Рассмотрим некоторые критерии качества работы САУ:
1) Статическая ошибка (имеет место только в П — регуляторе) — это отклонение регулируемого параметра от заданного в установившемся режиме (точность системы);
- Если в числителе передаточной функции системы нет свободного члена, то статическая ошибка равна нулю;
2) Динамическая ошибка — это максимальное рассогласование между заданной и текущей траекторией в переходном режиме;
3) Время регулирования — это время, в течение которого переходный процесс войдет в зону допустимой погрешности регулирования , где определяется следующим образом:
4)Величина перерегулирования — определяется как отношение амплитуды второй полуволны к первой
5)Степень затухания
учитывая, что
C данным критерием тесно связан еще один параметр-степень колебательности системы
;
Данные критерии взаимосвязаны следующими соотношениями:
Проведя небольшой анализ приведенных соотношений, можно выделить два крайних состояния системы:
- а) апериодический процесс , ;
- б) незатухающие колебания , .
Часто в расчетах применяют , .
Все системы регулирования рассчитываются с заданным значением либо , либо . Система регулирования считается настроенной оптимально, если она удовлетворяет двум или трем показателям качества. Например, максимальная динамическая ошибка, степень затухания, время регулирования удовлетворяют заданным значениям.
9.2 Оценка качества замкнутых САУ по возмущению
9.2.1 Система с П — регулятором
Используя рисунок 24, определим критерии качества данной системы.
Рассчитаем статическую ошибку по формуле:
Определим динамическую ошибку:.
Время регулирования имеет значение:.
Вычислим величину перерегулирования:
Определим степень затухания:
Степень колебательности:
9.2.2 Система с И — регулятором
Используя рисунок 25, определим критерии качества данной системы.
Статическая ошибка:
Определим динамическую ошибку:.
Время регулирования имеет значение:.
Вычислим величину перерегулирования:
Определим степень затухания:
Степень колебательности:
9.2.3 Система с ПИ — регулятором
Используя рисунок 26, определим критерии качества данной системы.
Статическая ошибка:
Определим динамическую ошибку:.
Время регулирования имеет значение:.
Вычислим величину перерегулирования:
Определим степень затухания:
Степень колебательности:
9.3 Оценка качества замкнутых САУ по управлению
9.3.1 Система с П — регулятором
Используя рисунок 27, определим критерии качества данной системы.
Статическая ошибка:
Определим динамическую ошибку:.
Время регулирования имеет значение:.
Вычислим величину перерегулирования:
Определим степень затухания:
Степень колебательности:
9.3.2 Система с И — регулятором
Используя рисунок 28, определим критерии качества данной системы.
Статическая ошибка:
Определим динамическую ошибку:.
Время регулирования имеет значение:.
Вычислим величину перерегулирования:
Определим степень затухания:
Степень колебательности:
9.3.3 Система с ПИ — регулятором
Используя рисунок 29, определим критерии качества данной системы.
Статическая ошибка:
Определим динамическую ошибку:.
Время регулирования имеет значение:.
Вычислим величину перерегулирования:
Определим степень затухания:
Степень колебательности:
Составим таблицы критериев качества для замкнутых САУ по возмущению и управлению вычисленных в п.9.2, 9.3.
Таблица 24 — Критерии качества замкнутых САУ по возмущению
|
Критерии качества |
Регулятор |
|||
|
П |
И |
ПИ |
||
|
Статическая ошибка, |
0,43 |
0 |
0 |
|
|
Динамическая ошибка, |
0,6 |
1,02 |
0,7 |
|
|
Время регулирования, , c |
30 |
60 |
50 |
|
|
Перерегулирование, |
0,941 |
0,510 |
0,629 |
|
|
Степень затухания, |
0,882 |
0,735 |
0,6 |
|
|
Степень колебательности, |
0,34 |
0,211 |
0,146 |
|
Таблица 25 — Критерии качества замкнутых САУ по управлению
|
Критерии качества |
Регулятор |
|||
|
П |
И |
ПИ |
||
|
Статическая ошибка, |
0,67 |
1 |
1 |
|
|
Динамическая ошибка, |
0,93 |
1,5 |
1,7 |
|
|
Время регулирования, , c |
30 |
60 |
60 |
|
|
Перерегулирование, |
0,962 |
0,5 |
0,629 |
|
|
Степень затухания, |
0,923 |
0,76 |
0,6 |
|
|
Степень колебательности, |
0,408 |
0,227 |
0,146 |
|
В курсовом проекте были затронуты вопросы касающиеся: построения статической модели объекта по заданным параметрам, нахождения коэффициентов передачи объекта при 10, 50, 90% номинального режим, построения динамической модели объекта по требуемой динамической характеристике, построения объектов первого и второго порядков с запаздыванием и без запаздывания. При рассмотрении последнего вопроса можно сделать вывод о том, что модель объекта второго порядка с запаздыванием описывает исходные данные с наименьшей погрешностью, в результате чего была выбрана именно эта модель.
Следующими этапами проекта являлось построение математической модели, которая формировалась из ранее выбранной передаточной функции второго порядка с запаздыванием, определение частотных и расширенных характеристик, необходимые дальнейших расчетов регуляторов, нахождение коэффициентов при требуемых значениях частот для П, И, ПИ — регуляторов, формирование передаточных функций разомкнутых и замкнутых систем автоматического управления, как по возмущению, так и по управлению.
Важным шагом являлась оценка САУ на устойчивость по различным критериям устойчивости, среди них критерий Михайлова, критерий Гурвица, и другие. Отметим что, при проверке заданных систем автоматического управления по этим критериям эти системы оказались устойчивыми.
Следующий вопрос, который был, затронут это построение переходных процессов для замкнутых САУ по возмущению и по управлению. После чего была произведена оценка качества систем и сделаны следующие выводы:
САУ с П — регулятором имеет наименьшее значение максимальной динамической ошибки, однако такой системе присуща статическая ошибка, поэтому П — регуляторы могут применяться в случаях, когда допускается отклонение регулируемой величины от заданного значения в равновесном состоянии системы.
САУ с И — регулятором характеризуется небольшим перерегулированием, а также длительным переходным процессом, поэтому область применения И — регуляторов ограничивается объектами, допускающими нормальное максимальное отклонение регулируемой величины.
САУ с ПИ — регулятором имеет средние параметры по степени затухания, колебательности, поэтому без ПИ — регулятора можно обойтись при любых требованиях к значению установившегося отклонения и любом диапазоне возмущающих воздействий.
