В своей курсовой работе я ставлю задачи:
- научиться представлять данные в ЦА;
- изучить методы контроля работы ЦА и научиться Хемминга;
- изучить реализацию алгоритма численного метода «быстрой сортировки» его блок-схему.
Глава 1. Представление данных в цифровых автоматах (ЦА)
Представление чисел в позиционных системах счисления (ПСС)
Система счисления – это совокупность символов и правил их записи, необходимых для записи чисел.
В позиционной системе счисления вес символа зависит от позиции в которой расположен символ. Например, число 222 – первый символ этого числа имеет вес 200, второй – 20, третий – 2.
Основной характеристикой ПСС является основание. Основание ПСС – это количество символов данной системы счисления, которые используются при составлении чисел. В зависимости от основания ПСС существует четыре основных системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятеричная и шестнадцатеричная. Все эти системы счисления используются в ЦА и каждая имеет свои основные функции. Например, числа, записанные в двоичной системе счисления, используются в ЦА для операций производимых процессором: запись, считывание, сложение и т.д.; числа в шестнадцатеричной системе счисления – для адресации ячеек памяти.
Перевод чисел из одной ПСС в другую
При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P обычно используют алгоритм:
1) если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;
2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.
Перевод числа из системы счисления с основанием P1 в систему счисления с основанием P2, можно выполнить по такому же алгоритму, но все вычисления нужно проводить в системе счисления с основанием P1. Второй способ перевести число можно в два этапа: переведя это число в десятеричную систему счисления, а затем из десятеричной в систему счисления с основанием P2.
Настройка операционной системы Windows с помощью Панели управления. ...
... в собственных папках, иметь свои настройки Windows и Рабочего стола и т. д. Каждый пользователь может использовать пароль для входа в систему. Учетные записи могут быть ... 65536 Ответ: . в) 581,2510 Переведем целую часть числа из десятичной системы в двоичную с помощью сложения степеней двойки, а полученное двоичное число переведем в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, воспользовавши
Чтобы перевести число из системы счисления с основанием P
в десятичную систему счисления, нужно найти сумму произведений содержимого разряда на вес этого разряда в системе счисления с основанием P. Где разряд – номер позиции в числе, нумеруются справа налево, начиная с нуля; вес разряда – число, равное основанию системы счисления в степени номера разряда.
Чтобы перевести число из двоичной системы счисления
в восьмеричную (шестнадцатеричную) систему счисления, нужно разбить число на тройки (четверки) цифр, в случае необходимости следует дополнить целую и дробную части числа нулями (целую слева, дробную справа).
Затем заменить полученные группы цифр соответствующими им восьмеричными (шестнадцатеричными) цифрами. Например, число 11010010.102 нужно перевести в восьмеричную систему счисления. Разобьем число на тройки цифр: 011 010 010. 100 , заменим тройки цифр на соответствующими им восьмеричными цифрами. Получим 11010010.102 = 322.48
Чтобы перевести число из восьмеричной (шестнадцатеричной) системы счисления в двоичную систему счисления, нужно заменить каждую цифру числа соответствующими им тройками (четверками) двоичных цифр.
Задание. Осуществить перевод числа (А+В), представленного в 10-ой системе из одной системы счисления в другие, по схеме рисунка.
(А+В)10
Решение.
А+В=307+6.6=313.610
313.610 = ( )2
Сначала переводим целую часть числа, делим на основание 2:
313/2=156 остаток – 1;
156/2=78 остаток – 0;
78/2=39 остаток – 0;
39/2=19 остаток – 1;
19/2=8 остаток – 1;
9/2=4 остаток – 1;
4/2=4 остаток – 0;
2/2=1 остаток – 0;
- Дальше делить нельзя, поэтому собираем все остатки, начиная с конца и учитываем конечный результат от деления т.е. 2/2=1. Получим 31310=1001110012
Теперь переводим дробную часть числа, умножаем на основание 2:
| * | 6 | * | 2 | * | 4 | * | 8 | ||||
| 2 | 2 | 2 | 2 | ||||||||
| 1 | 2 | 0 | 4 | 0 | 8 | 1 | 6 |
Получим 0.610 = 0.10012 , значит,
31310 » 100111001.10012
100111001.10012 = ( )8
Разобьем число на тройки цифр: 100 111 001. 100 100 , заменим тройки цифр на соответствующими им восьмеричными цифрами т.е. 1002=48 ; 1112=78 ; 0012=18 . Получим 100111001.10012 =471.448
100111001.10012 = ( )10
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | . | 1 | 0 | 0 | 1 | Число |
| 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 | -4 | Разряды числа |
100111001.10012 = 1*2-4 + 1*2-1 + 1*20 + 1*23 + 1*24 + 1*25 + 1*28 =
= 0.0652 + 0.5 + 1 + 8 + 16 + 32 + 256 = 313.565210 » 313.610
100111001.10012 = ( )16
Разобьем число на четверки цифр: 0001 0011 1001. 1001 , заменим четверки цифр на соответствующими им шестнадцатеричными цифрами т.е. 00012=116; 00112=316 ; 10012=916 . Получим 100111001.10012 =139.916
313.610 = ( )8
Сначала переводим целую часть числа, делим на основание 8:
313/8=39 остаток – 1;
39/8=4 остаток – 7.
Получим 31310=4718
Теперь переводим дробную часть числа, умножаем на основание 8:
| * | 6 | * | 8 | * | 4 | * | 2 | ||||
| 8 | 8 | 8 | 8 | ||||||||
| 4 | 8 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 | 6 |
Получим 0.610 = 0.46318 , значит,
31310 » 471.46318
471.46318 = ( )2
Каждый символ числа 471.46318 запишем в двоичной системе счисления: 48=1002 ; 78=1112 ; 18=0012 ; 68=1102 ; 38=0112 .
Получим 471.46318 = 100111001.1001100110012
471.46318 = ( )10
| 4 | 7 | 1 | . | 4 | 6 | 3 | 1 | Число |
| 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 | -4 | Разряды числа |
471.46318 = 1*8-4 + 3*8-3 + 6*8-2 + 4*8-1 + 1*80 + 7*81 + 4*82 =
= 0.0002 + 0.0058 + 0.0937 + 0.5 + 1 + 56 + 256 = 313.599710 » 313.610
471.46318 = ( )16
Перевод числа из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную проведем в два этапа: сначала переведем число в десятеричную систему счисления, затем из десятеричной в шестнадцатеричную. Перевод числа 471.46318 в десятеричную систему счисления уже осуществлен выше: 471.46318 = 313.610 . Далее переведем 313.610 в шестнадцатеричную систему счисления:
313.610 = ( )16
Сначала переводим целую часть числа, делим на основание 16:
313/16=19 остаток – 9;
19/16=1 остаток – 3.
Получим 31310=13916
Теперь переводим дробную часть числа, умножаем на основание 16:
| * | 6 | * | 6 | ||
| 16 | 16 | ||||
| 9 | 6 | 9 | 6 |
Получим 0.610 = 0.9916 , значит,
31310 » 139.9916
139.9916 = ( )2
Каждый символ числа 139.9916 запишем в двоичной системе счисления: 116=00012 ; 316=00112 ; 916=10012 .
Получим 139.9916 = 100111001.100110012
139.9916 = ( )8
Перевод числа из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную будем выполнять в один этап, делая все вычисления в шестнадцатеричной системе счисления.
Сначала переводим целую часть числа, делим на основание 8:
| 139 | 8 | ||
| 100 | 27 | ||
| – | 39 | ||
| 38 | |||
| 1 | |||
| 27 | 8 |
| 20 | 4 |
| 7 |
Дальше делить нельзя, поэтому собираем все остатки, начиная с конца и учитываем конечный результат от деления т.е. 20/8=4. Получим 13916 = 4718
Теперь переводим дробную часть числа, умножаем на основание 8:
| * | 99 | * | С8 | * | 40 | |||
| 8 | 8 | 8 | ||||||
| 4 | С8 | 6 | 40 | 2 | 00 |
Получим 0.9916 = 0.46208 , значит,
139.9916 » 471.46208
139.9916 = ( )10
| 1 | 3 | 9 | . | 9 | 9 | Число |
| 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | Разряды числа |
139.9916 = 9*16-2 + 9*16-1 + 9*160 + 3*161 + 1*162 = 0.0351 + 0.5625 + 9 + 48 + 256 = 313.597610 » 313.610
Выполнение арифметических операций над числами, представленными в ПСС
Операции над числами в двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной системе счисления выполняются по тем же правилам, что и арифметические операции над числами в десятеричной системе счисления.
Задание
А) Сложить числа (А)16 и (В)16
(А)10 = 30710 = 13316 (В)10 = 6.610 = 6.9916
| + | 133.00 |
| 6.99 | |
| 139.99 |
Б) Вычесть из числа (А)8 число (В)8
(А)10 = 30710 = 4638 (В)10 = 6.610 = 6.468
| – | 463.00 |
| 6.46 | |
| 454.31 |
В) Умножить числа (С)2 и (В)2
(С)10 = 9110 = 10110112 (В)10 = 6.610 = 110.10012
| * | 1011011 | |
| 110.1001 | ||
| 1011011 | ||
| + 1011011000 | ||
| 101101100000 | ||
| 1011011000000 | ||
| 1001010101.0011 | ||
В) Разделить число (С)2 на (В)2
(С)10 = 9110 = 10110112 (В)10 = 6.610 = 110.12
| 1011011 | 110.1 | Ю |
| 10110110 | 1101 | ||
| 01101 | 1110.0 | ||
| 010011 | |||
| 001101 | |||
| 0001101 | |||
| 0001101 | |||
| 0000000 | |||
Формы представления данных в ЦА, Кодирование и формы представления чисел в ЦА, Представление чисел в машинных кодах для выполнения арифметических операций
Прямой код – это двоичный код числа, записанный в разрядной сетке, в старшем разряде которого указывается знак числа.
Для положительных чисел прямой код числа совпадает с обратным и дополнительном кодом т.е. [A]пр = [A]обр = [A]доп .
В противном случае, когда число отрицательное:
- обратный код получается из прямого, путем инверсии всех разрядов, за исключением знакового;
- дополнительный код получается путем прибавления единицы к обратному коду т.е.
[A]доп = 1 + [A]обр .
Модифицированный обратный (дополнительный) код – аналог обратного (дополнительного) кода, с той лишь разницей, что на знак выделяются два старших разряда.
Задание. Числа А, –А, С и –С представить в прямом, обратном, дополнительном, модифицированном обратном и модифицированном дополнительном кодах.
А = 30710 = 1001100112 С = 9110 = 10110112
[A]пр = [A]об = [A]доп = 0|000000100110011
[A]мод.об = 00|00000100110011
[A]мод.доп = 00|00000100110011
[–A]пр = 1|000000100110011
[–A]об = 1|111111011001100
[–A]мод.об = 11|11111011001100
[–A]доп = 1|111111011001100+1 = 1|111111011001101
[–A]мод.доп = 11|11111011001100+1 = 11|11111011001101
[C]пр = [C]об = [C]доп = 0|000000001011011
[C]мод.об = 00|00000001011011
[C]мод.доп = 00|00000001011011
[–C]пр = 1|000000001011011
[–C]об = 1|111111110100100
[–C]мод.об = 11|11111110100100
[–C]доп = 1|111111110100100+1 = 1|111111110100101
[–C]мод.доп = 11|11111110100100+1 = 11|11111110100101
Представление чисел в формате с фиксированной запятой
Для чисел, представленных в формате с фиксированной запятой, предварительно определяется место запятой между разрядами, поэтому число может быть определено только в определенном диапазоне. Если рассматривать два числа, у которых место положения различны, то числа выравниваются по младшему разряду. Для этого все числа заносимые в ЦА предварительно умножаются на маштабный коэффициент.
Например:
111.101 * 24 = 1111010 – целый вид;
111.101 * 2–3 = 0.111101 – дробный вид,
где 24 и 2–3 – маштабный коэффициент.
Задание. Числа A, –A, B и –B представить в формате с фиксированной точкой (в 16-ти разрядах).
При этом числа A и B привести к целому виду, а –A и –B к дробному с 4-мя знаками после запятой.
А = 30710 = 1001100112
A = 0000000100110011 – целый вид;
- A = 100110011*2–4 = 000000010011.0011 – дробный вид.
В = 6.610 = 110.12
B = 110.1*21 = 0000000000001101 – целый вид;
- B = 110.1*2–3 = 000000000000.1101 – дробный вид.
Представление чисел в формате с плавающей запятой
Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N=M*qp, где M называется мантиссой числа, а p – порядком. Такой способ записи чисел называется представлением с плавающей точкой.
Мантисса должна быть правильной дробью, первая цифра дробной части которой отлична от нуля: M из диапазона [0.1; 1).
Такое, наиболее выгодное для компьютера, представление вещественных чисел называется нормализованным.
Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание – в десятичной системе.
При хранении числа с плавающей точкой отводятся разряды для мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка:
| … |
|
… |
Например: 753.15 = 0.75315*103.
Задание . Числа A, –A, B и –B представить в формате с плавающей точкой.
А = 307 = 0.307*103
В = 6.6 =0.66*101
Кодирование и формат представления символьной информации
В большинстве первых компьютеров использовался семибитный код КОИ-7 (код обмена информацией, семизначный).
В таком коде можно было закодировать 27=128 символов. Но с развитием техники это стало довольно неудобно.
Новый код был уже восьмибитным и основывался на американском стандартном коде обмена информацией ASCII (American Standard Code for Information Interchange).
В восьмибитном коде можно закодировать уже 28=256 символов. Этого вполне хватает чтобы без всяких проблем использовать в тексте большие и маленькие буквы русского и латинского алфавитов, знаки препинания, цифры, специальные символы.
С недавнего времени был предложен новый стандарт символьного кодирования UNICODE. Шестнадцать разрядов позволяют обеспечить уникальные коды для 216=65536 различных символов – этого поля достаточно для размещения в одной таблице символов большинства языков планеты.
Задание. Используя таблицу Windows 12.51, закодировать свои: фамилию и имя (записанные на русском и английском языках).
Вписать их в разрядную сетку.
| Буква | Десятиричный код | Двоичный код | Буква | Десятиричный код | Двоичный код | |
| Ш | 216 | 11011000 | S | 83 | 1010011 | |
| а | 224 | 11100000 | h | 104 | 1101000 | |
| б | 225 | 11100001 | a | 97 | 1100001 | |
| а | 224 | 11100000 | b | 98 | 1100010 | |
| р | 240 | 11110000 | a | 97 | 1100001 | |
| о | 238 | 11101110 | r | 114 | 1110010 | |
| в | 226 | 11100010 | o | 111 | 1101111 | |
| v | 118 | 1110110 | ||||
| П | 207 | 11001111 | ||||
| а | 224 | 11100000 | P | 80 | 1010000 | |
| в | 226 | 11100010 | a | 97 | 1100001 | |
| е | 229 | 11100101 | v | 118 | 1110110 | |
| л | 235 | 11101011 | e | 101 | 1100101 | |
| l | 108 | 1101100 |
1.3 Выполнение арифметических операций с целыми числами, представленными в машинных кодах
Арифметические операции с целыми числами, представленными в машинных кодах, выполняются только операцией сложения. Т.е. операция разности, заменяется операцией сложения, операция произведения также заменяется операцией сложения.
Например, вычислить: А + B, A – B, –A – B. Пусть А=16010, B=4510.
[A]доп = 0|000000010100000
[–A]доп = 1|111111101100000
[B]доп = 0|000000000101101
[–B]доп = 1|111111111010011
| А + B | A – B | –A – B | |||||
| + | 0|000000010100000 | + | 0|000000010100000 | + | 1|111111101100000 | ||
| 0|000000000101101 | 1|111111111010011 | 1|111111111010011 | |||||
| 0|000000011001101 | 0|000000001110011 | 1|111111100110011 |
Задание. Произвести сложение чисел, представленных в машинных кодах: A+C; –A+C; A+(– C); –A+(– C).
A = 30710 =1001100112 С = 9110 = 10110112
[A]доп = 0|000000100110011
[–A]доп = 1|111111011001101
[C]доп = 0|000000001011011
[–C]доп = 1|111111110100101
| А + C | –A + C | |||
| + | 0|000000100110011 | + | 1|111111011001101 | |
| 0|000000001011011 | 0|000000001011011 | |||
| 0|000000110001110 | 1|111111100101000 | |||
| А + (– C) | –A + (– C) | |||
| + | 0|000000100110011 | + | 1|111111011001101 | |
| 1|111111110100101 | 1|111111110100101 | |||
| 0|000000011011000 | 1|111111001110010 |
1.4 Выполнение логических операций с целыми числами, представленными в машинных кодах
Количество логических операций может быть вычисленно по формуле 
, где n – число переменных. Из формулы видно, что для двух переменных a и b логических операций 16. Основные из них: логическое сложение, логическое умножение, логическое отрицание, сложение по модулю 2.
|
Для выполнения логических операций, используют таблицы истинности:Логическое сложение a Ъ b |
Логическое умножение a & b |
Логическое отрицание |
Сложение по модулю 2 a Е b |
||||||||||
| a b | 1 | 0 | a b | 1 | 0 | a |
|
a b | 1 | 0 | |||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | |||
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | |||
Задание:
а) произвести логическое сложение чисел А и С:
| Ъ | 0|000000100110011 |
| 0|000000001011011 | |
| 0|000000101111011 |
б) произвести логическое умножение чисел А и С:
| & | 0|000000100110011 |
| 0|000000001011011 | |
| 0|000000000010011 |
в) произвести сложение чисел А и С по модулю 2.
| Е | 0|000000100110011 |
| 0|000000001011011 | |
| 0|000000101101000 |
г) произвести логический сдвиг: влево для чисел А и –А, вправо для С и –С
| A | –A | ||
| 0|000000100110011 | 1|111111011001101 | Число | |
| 0|000001001100110 | 1|111110110011010 | Результат сдвига влево |
| C | –C | ||
| 0|000000001011011 | 1|111111110100101 | Число | |
| 0|000000000101101 | 0|111111111010010 | Результат сдвига вправо |
д) произвести логический циклический сдвиг: влево для чисел А и –А, вправо для чисел С и –С
| A | –A | ||
| 0|000000100110011 | 1|111111011001101 | Число | |
| 0|000010011001100 | 1|111101100110100 | Результат сдвига влево на 2 бита |
| C | –C | ||
| 0|000000001011011 | 1|111111110100101 | Число | |
| 0|000000000010110 | 0|011111111101001 | Результат сдвига вправо на 2 бита |
e) произвести арифметический сдвиг: влево для чисел А и –А, вправо для чисел С и –С
| A | –A | ||
| 0|000000100110011 | 1|111111011001101 | Число | |
| 0|000001001100110 | 1|111110110011010 | Результат сдвига влево |
| C | –C | ||
| 0|000000001011011 | 1|111111110100101 | Число | |
| 0|000000000101101 | 1|011111111010010 | Результат сдвига вправо |
Глава 2. Методы контроля работы ЦА
2.1 Корректирующая способность кодов
При работе ЦА могут произойти те или иные сбои, приводящие к искажению информации. Поэтому при проектировании ЦА должны предусматриваться средства, позволяющие контролировать, выявлять и исправлять возникающие ошибки. Решение всех задач контроля становится возможным только при наличии определенной избыточности информации, которая сопровождает основную информацию. Иначе говоря, при представлении числа в каком-либо коде, необходимо предусмотретьв этом коде дополнительные (контрольные) разряды.
Систематический код – это код, содержащий в себе информационные и контрольные разряды. В контрольные разряды записывается некоторая информация об исходном числе, поэтому систематический код обладает избыточностью.
При этом абсолютная избыточность будет выражаться количеством контрольных разрядов – k, а относительная избыточность – 
, где m – количество информационных разрядов.
Понятие корректирующей способности кода связывают с возможностью обнаружения и исправления ошибки. Количественно корректирующая способность кода определяется вероятностью обнаружения или исправления ошибки. Корректирующая способность кода связана понятием кодового расстояния.
Кодовое расстояние (Хемингово расстояние) d для кодовых комбинаций A и B определяется как вес такой третьей комбинации, которая получается сложением исходных комбинаций по модулю 2. Вес кодовой комбинации V – это количество единиц содержащихся в кодовой комбинации.
Например, A=100111001 и B=011011100. Отсюда веса кодовых комбинаций будут равны: V(A)=5, V(B)=5. Кодовая комбинация C=A+B=111100101, вес этой кодовой комбинации равен V(C)=6. Таким образом кодовое расстояние для A и B – d(A,B)=V(C)=6.
В любой позиционной системе счисления минимальное кодовое расстояние равно 1. В теории кодирования показано, что систематический код обладает способностью обнаружения ошибки только тогда, когда код расстояния для него больше или равен 2t. Следовательно, 
, где t – кратность обнаруживаемых ошибок. Это означает, что между соседними кодовыми комбинациями должна существовать, по крайней мере одна кодовая комбинация.
2.2 Метод четности / нечетности. Коды Хеминга
Если в математическом коде выделен один контрольный разряд, то к каждому двоичному числу добавляется один избыточный разряд. В этот разряд записывается 1 или 0 с таким условием, чтобы сумма цифр по модулю 2 была равна 0 для случая четности или 1 для случая нечетности. Появление ошибки в кодировании обнруживается по нарушению четности / нечетности. При таком кодировании допускается, что может возникнуть только одна ошибка.
Пример реализации метода четности:
| Число | Контрольный разряд | Проверка |
| 10101011 | 1 | 0 |
| 11001010 | 0 | 0 |
| 10010001 | 1 | 0 |
| 11001011 | 0 | 1 – ошибка |
Можно представить и несколько видоизмененный способ контроля по методу четности / нечетности. Длинное слово разбивается на группы, каждая из которых содержит n разрядов. Контрольные разряды – k, выделяются всем группам столбцам согласно схеме:
Увеличение избыточности приводит к тому, что появляется возможность не только обнаружить ошибку, но и исправить ее.
Например: число 1000111011010101110010101 представим по указанной выше схеме, получим:
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Теперь, если при
