» Применение производной в науке и технике»
С. Раздольное
1. Теоретическая часть
1.1 Задачи, приводящие к понятию производной
1.2 Определение производной
1.3 Общее правило нахождения производной
1.4 Геометрический смысл производной
1.5 Механический смысл производной
1.6 Производная второго порядка и её механический смысл
1.7 Определение и геометрический смысл дифференциала
2. Исследование функций с помощью производной Заключение Литература
В первой главе моего реферата речь пойдёт о понятии производной, правилах её применения, о геометрическом и физическом смысле производной. Во второй главе моего реферата речь пойдёт о применении производной в науке и технике и о решении задач в этой области.
1. Теоретическая часть
1.1 Задачи, приводящие к понятию производной
При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.
Г. В. Лейбница
Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).
Как известно, равномерным движением называют такое движение, при котором тело в равные промежутки времени проходит равные по длине отрезки пути. Путь, пройденный телом в единицу времени, называют скоростью равномерного движения.
Однако чаще всего на практике мы имеем дело с неравномерным движением. Автомобиль, едущий по дороге, замедляет движение у переходов и ускоряет его на тех участках, где путь свободен; самолёт снижает скорость при приземлении и т. д. Поэтому чаще всего нам приходится иметь дело с тем, что за равные отрезки времени тело проходит различные по длине отрезки пути. Такое движение называют неравномерным. Его скорость нельзя охарактеризовать одним числом.
Часто для характеристики неравномерного движения пользуются понятием средней скорости движения за время? t? которое определяется соотношением где? s — путь, пройденный телом за время? t.
Так, при свободном падении тела средняя скорость его движения за первые две секунды есть Практически такая характеристика движения, как средняя скорость, говорит о движении очень мало. Действительно, при 4,9 м/с, а за 2-ю — 14,7 м/с, в то время как средняя скорость за первые две секунды составляет 9,8 м/с. Средняя скорость в течение первых двух секунд не даёт никакого представления о том, как происходило движение: когда тело двигалось быстрее, а когда медленнее. Если же задать средние скорости движения для каждой секунды в отдельности, то мы будем знать, например, что во 2-ю секунду тело двигалось значительно быстрее, чем в 1-ю. Однако в большинстве случаев значительно быстрее, чем нас мало устраивает. Ведь нетрудно понять, что в течение этой 2-й секунды тело также движется по-разному: в начале медленнее, в конце быстрее. А как оно движется где-то в середине этой 2-й секунды? Иными словами, как определить мгновенную скорость?
Простейшие движения абсолютно твердых тел (поступательное, вращательное, ...
... Неравномерное вращательное движение Если угловая скорость вращающегося тела с течение времени меняется , то движение называется неравномерным. В самом общем виде формулы неравномерного вращательного движения запишутся так: , ω Выражение α Угловое ускорение равно первой производной угловой скорости ...
Пусть движение тела описывается законом Рассмотрим путь, пройденный телом за время от t 0 до t0 + ?t, т. е. за время, равное? t. В момент t0 телом пройден путь, в момент — путь. Поэтому за время? t тело прошло путь и средняя скорость движения тела за этот промежуток времени составит.
Чем меньше промежуток времени? t, тем точнее можно установить, с какой скоростью движется тело в момент t 0 , так как движущееся тело не может значительно изменить скорость за малый промежуток времени. Поэтому средняя скорость при стремлении? t к нулю приближается к действительной скорости движения и в пределе даёт скорость движения в данный момент времени t0 (мгновенную скорость).
Таким образом ,
Определение 1.
Итак, чтобы найти скорость прямолинейного неравномерного движения в данный момент, нужно найти предел отношения приращения пути? к приращению времени? t при условии т. е. Лейбниц пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной своим уравнением.
Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к её траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на её орбите сводится, к определению направления касательной к кривой.
Определение касательной как прямой, имеющей с кривой только одну общую точку, справедливое для окружности, непригодно для многих других кривых.
Ниже представленное определение касательной к кривой, не только соответствует интуитивному представлению о ней, но и позволяет фактически находить её направление, т. е. вычислять угловой коэффициент касательной.
Определение 2.
1.2 Определение производной
Заметим, что при определении касательной к кривой и мгновенной скорости неравномерного движения, по существу, выполняются одни и те же математические операции:
1. Заданному значению аргумента дают приращение и вычисляют новое значение функции, соответствующее новому значению аргумента.
Лабораторная работа: Измерение влажности и скорости движения ...
... Разность показаний этих датчиков будет зависеть от влажности воздуха в помещении. Измерение скорости движения воздуха Скорость движения воздушного потока при холодильной обработке и хранении СПГ измеряют ... с прибором заключается в определении охлаждающего эффекта воздуха. Анемометром определяют скорость движения воздуха на входе и выходе воздуха из воздухоохладителе в грузовом помещении вагона. ...
2. Определяют приращение функции, соответствующее выбранному приращению аргумента.
3. Приращение функции делят на приращение аргумента.
4. Вычисляют предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
К предельным переходам такого типа приводят решения многих задач. Возникают необходимость сделать обобщение и дать название этому предельному переходу.
Скорость изменения функции в зависимости от изменения аргумента можно, очевидно, охарактеризовать отношением. Это отношение называется средней скоростью изменения функции на отрезке от до. Сейчас нужно рассмотреть предел дроби Предел этого отношения при стремлении приращения аргумента к нулю (если этот предел существует) представляет собой некоторую новую функцию от. Эту функцию обозначают символами y’, называют производной данной функции так как она получена (произведена) из функции Сама же функция называется первообразной функцией по отношению к своей производной
Определение 3.
1.3 Общее правило нахождения производной
Операцию отыскания производной некоторой функции называют дифференцированием функции, а раздел математики, изучающий свойства этой операции, — дифференциальным исчислением.
Если функция имеет производную в точке x=a, то говорят, что она дифференцируема в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке данного промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке .
Определение производной не только с исчерпывающей полнотой характеризует понятие скорости изменения функции при изменении аргумента, но и даёт способ фактического вычисления производной данной функции. Для этого необходимо выполнить следующие четыре действия (четыре шага), указанные в самом определении производной:
1. Находят новое значение функции, представив в данную функцию вместо x новое значение аргумента: .
2. Определяют приращение функции, вычитывая данное значение функции из её нового значения: .
3. Составляют отношение приращения функции к приращению аргумента: [https:// , 28].
4. Переходят к пределу при и находят производную: .
Вообще говоря, производная — это «новая» функция, произведённая от данной функции по указанному правилу.
1.4 Геометрический смысл производной
Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, состоит в следующем: значение производной функции в точке x равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в той же точке x, т. е.
Уравнение касательной, как всякой прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид — текущие координаты. Но и уравнение касательной запишется так:. Уравнение нормали запишется в виде .
1.5 Механический смысл производной
Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т. е. Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением, то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную и подставить в неё соответствующее значение t.
Случайные погрешности и способы их уменьшения
... этой точке значение, равное 0, 5, то говорят о симметричности распределения результатов. Более наглядным является описание свойств результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности, с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей: ...
1.6 Производная второго порядка и её механический смысл
В. Т. Соловейчик
Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента. В этом и заключается механический смысл второй производной.
1.7 Определение и геометрический смысл дифференциала
Определение 4.
Дифференциал функции геометрически изображается приращением ординаты касательной, проведённой в точке M ( x ; y ) при данных значениях x и ? x.
Вычисление
Применение дифференциала в приближённых вычислениях
Теорема 1., Теорема 2.
Сформулируем теперь правило нахождения интервалов монотонности функции
1. Вычисляют производную данной функции.
2. Находят точки, в которых равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции
3. Найденными точками область определения функции разбивается на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Эти интервалы являются интервалами монотонности.
4. Исследуют знак на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале, то на этом интервале возрастает; если же, то на таком интервале убывает.
В зависимости от условий задачи правило нахождения интервалов монотонности может упрощаться.
Определение 5.
Если — точка максимума (минимума) функции, то говорят, что (минимум) в точке. Максимум и минимум функции объединяют название экстремум функции, а точки максимума и минимума называют точками экстремума (экстремальными точками).
Теорема 3., Теорема 4.
Основные моменты исследования производной:
1. Находят производную .
2. Находят все критические точки из области определения функции.
3. Устанавливают знаки производной функции при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума.
4. Вычисляют значения функции в каждой экстремальной точке.
2. Исследование функций с помощью производной
Задача № 1 . Объём бревна. Круглым деловым лесом называют брёвна правильной формы без дефектов древесины с относительно небольшой разницей диаметров толстого и тонкого концов. При определении объёмов круглого делового леса обычно применяют упрощённую формулу, где — длина бревна, — площадь его среднего сечения. Выясните, завершается или занижается при этом реальный объём; оцените относительную погрешность.
Решение . Форма круглого делового леса близка к усечённому конусу. Пусть — радиус большего, меньшего конца бревна. Тогда его почти точный объём (объём усеченного конуса) можно, как известно, найти по формуле. Пусть — значение объёма, вычисленное по упрощённой формуле. Тогда ;
Применение производной в различных областях науки
... нахождения производной называется её дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х, называют дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой в ... вопросы данного реферата: 1. История возникновения производной. 2. Зачем изучать производные функций? 3. Где используются производные? 4. Применение производных в физике, химии, ...
т. е. . Значит, упрощённая формула даёт занижение величины объёма. Положим теперь. Тогда. Отсюда видно, что относительная погрешность не зависит от длины бревна, а определяется отношением. Поскольку при возрастает на промежутке [1; 2]. Поэтому, а значит, относительная погрешность не превосходит 3,7%. В практике лесоведения такая погрешность считается вполне допустимой. С большей точностью практически невозможно измерить ни диаметры торцов (ведь они несколько отличаются от кругов), ни длину бревна, поскольку измеряют не высоту, а образующую конуса (длина бревна в десятки раз больше диаметра, и это не приводит к большим погрешностям).
Таким образом, на первый взгляд неправильная, но более простая формула для объёма усечённого конуса в реальной ситуации оказывается вполне правомерной. Многократно проводившиеся с помощью специальных методов проверки показали, что при массовом учёте делового леса относительная погрешность при использовании рассматриваемой формулы не превосходит 4%.
Задача № 2 . При определении объёмов ям, траншей вёдер и других ёмкостей, имеющих форму усечённого конуса, в с/х практике иногда пользуются упрощённой формулой, где — высота, — площади оснований конуса. Выясните, завышается или занижается при этом реальный объём, оцените относительную погрешность при естественном для практики условии: (- радиусы оснований, .
Решение . Обозначив через истинное значение объёма усечённого конуса, а через значение, вычисленное по упрощённой формуле, получим:, т. е. . Значит, упрощённая формула даёт завышение величины объёма. Повторив далее решение предыдущей задачи, найдём, что относительная погрешность будет не больше 6,7%. Вероятно, такая точность допустима при нормировании землеройных работ — ведь ямы не будут идеальными конусами, да и соответствующие параметры в реальных условиях замеряют весьма грубо.
Задач а № 3 . В специальной литературе для определения угла? поворота шпинделя фрезерного станка при фрезеровании муфт с зубьями выводится формула, где. Так как эта формула сложна, то рекомендуется отбросить её знаменатель и пользоваться упрощённой формулой. При каких (- целое число,) можно пользоваться этой формулой, если при определении угла допускается погрешность в ?
Решение. Точную формулу после несложных тождественных преобразований можно привести к виду. Поэтому при использовании приближённой формулы допускается абсолютная погрешность, где. Исследуем функцию на отрезке [8; 50]. При этом 0,06, т. е. угол принадлежит первой четверти. Имеем:. Заметим, что на рассматриваемом промежутке, а значит, функция на этом промежутке убывает. Поскольку далее, то при всех рассматриваемых. Значит,. Так как радиан, то достаточно решить неравенство. Решая это неравенство подбором, находим, что,. В силу того, что функция убывает, следует, что .
Заключение
Применение производной довольно широко, и его можно полностью охватить в работе такого типа, однако я попытался раскрыть основные базовые моменты. В наше время, в связь с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становиться всё более актуальными в решении как простых, так и сверхсложных задач.
Способ определения аэродинамических погрешностей приемников воздушных ...
... дифференцируемости функции во всем диапазоне M, (M Формула изобретения Способ определения аэродинамических погрешностей приемника воздушных давлений в летных испытаниях самолета, включающий выполнение полетов на ... углами, определении истинного числа M, определении погрешности измерения числа М, оценке относительной погрешности измерения статического давления P/P(M,) в зависимости от числа M ...
1. В. А. Петров «Математический анализ в производственных задачках»
2. Соловейчик И. Л. , Лисичкин В. Т. «Математика»
