» і адсорбція на кордоні вода-повітря»
2009
як результат асиметрії сил когезії на поверхні
Поверхневий натяг рідин викликає утворення крапель і пов’язане з силами між молекулами. Ці сили тяжіння викликають конденсацію пари в рідину. За природою це дисперсійні, диполь-дипольні і індукційні взаємодії, а також водневі зв’язки. В обсязі рідини молекули піддаються дії цих сил тяжіння з усіх боків, у той час як для молекули на поверхні таке тяжіння в одному напрямку відсутня. Така асиметрія зумовлює виникнення поверхневої енергії і виявляється у поверхневому натягу. Таким чином, поверхневий натяг є прямим наслідком сил когезії в рідині.
Рис. 1. а — Походження поверхневого натягу полягає в дисбалансі сил тяжіння для молекули, що знаходиться на поверхні, б — Поблизу поверхні молекули знаходяться на великих відстанях один від одного і тому мають більш високу енергію, в — Залежність енергії міжмолекулярної взаємодії від відстані між молекулами
Інше молекулярне пояснення поверхневого натягу, також корелюють з когезії рідин, ілюструє рис. 1,6. Поблизу поверхні молекули знаходяться на порівняно великих відстанях один від одного і таким чином мають велику енергію, як показано на діаграмі, що представляє залежність енергії від відстані.
Значення поверхневого натягу деяких індивідуальних рідин наведено в табл. 1. Одиниці вимірювання поверхневого натягу — дін / см, або мН / м. Дуже вдало, що коефіцієнт переходу з однієї системи одиниць в іншу дорівнює одиниці, та чисельні значення поверхневого натягу в цих системах одиниць збігаються. Так як поверхневий натяг рідин еквівалентно поверхневої енергії, його можна виражати також в одиницях енергії: ерг / см або мДж / м 2. У цьому випадку коефіцієнт також дорівнює одиниці. З таблиці 1 видно, що поверхневий натяг корелює з енергією когезії рідин: діетиловий ефір має найнижчу енергію когезії, а ртуть — найвищу.
У свою чергу когезії визначається дисперсійними силами, що діють в рідині. Порівняємо , наприклад, поверхневий натяг хлороформу і бромоформ: молекули останнього більш поляризованим, тому поверхневий натяг бромоформ вище, ніж хлороформу. Енергія когезії корелює також з вільним об’ємом рідин, що випливає з порівняння поверхневого натягу серії нормальних алканів: чим більше вільний об’єм, тим менше енергія когезії та поверхневий натяг.
Поверхневий натяг
... чи несправного крана. Поки крапля мала, вона відривається: її утримують сили поверхового натягу (поверхневий пласт виконує роль своєрідного мішечка). Чим більший крапля, тим більший роль грає ... Цей кулю від розльоту по молекулам утримує сила поверхового натягу. Усунути дію сили тяжкості щодо поверхового натягу рідин вперше здогадався середині минулого століття бельгійський учений Ж. Плато, ...
Міжфазну натяг — це поверхневий натяг або вільна енергія на межі двох змішуються, або частково змішуються рідин. Причина незмішуваності зазвичай полягає в великій різниці сил когезії, що діють між молекулами кожної рідини. Тому на міжфазній поверхні виникає нескомпенсованих сила. Чим більша різниця сил когезії, тим вище міжфазну натяг. При досить невеликій різниці сил когезії рідини змішуються один з одним. Проблема смешиваемости або незмішуваності задовільно описується теорією регулярних розчинів.
1. Поверхневий натяг для деяких рідин при 25 0 C
|
Етанол Хлороформ Бромоформ н-Гексан «-Октан н-Додекан н-гексадекан Діетиловий ефір Ртуть |
72 22 27 45 18 22 25 27 17 480 |
Рис. 2. і поверхневий натяг, міжфазну натяг обумовлено дисбалансом сил тяжіння для молекул, що знаходяться на міжфазній межі
Одиниці виміру міжфазного натягу збігаються з одиницями вимірювання поверхневого натягу. Крім що міжфазну натяг залежить від різниці сил когезії в рідинах, воно залежить також від специфічних взаємодій між молекулами двох рідин. Наприклад, міжфазну натяг на межі вода-октан рівне 51 мН / м, а міжфазну натяг на межі вода-октанол-тільки 8 мН / м. Цілком очевидно, що гідроксильні групи октанолу орієнтуються у бік водної фази, що й забезпечує сильне зниження міжфазного натягу. Таким же чином діють поверхнево-активні речовини , що складаються з полярної групи і гідрофобною частини, які знижують міжфазну натяг між органічними рідинами та водою.
Вплив розчинених речовин на поверхневий натяг
У водних системах розчинені речовини впливають на поверхневий натяг трьома різними способами. Органічні речовини, що розчиняються у воді звичайно монотонно знижують поверхневий натяг у міру збільшення концентрації завдяки переважної адсорбції органічних молекул на поверхні вода-повітря. ми докладніше поговоримо далі.
дуже сильно знижують поверхневий натяг вже при дуже низьких концентраціях аж до критичної концентрації міцелоутворення, після досягнення якої поверхневий натяг залишається практично постійним. Таке сильне зниження поверхневого натягу є наслідком адсорбції молекул ПАР на поверхні вода-повітря. При концентраціях вище KKM все додатково введене ПАР витрачається на утворення нових міцел, що забезпечує збереження більш-менш постійної активності молекулярно розчиненого ПАР. Тому поверхневий натяг не змінюється зі збільшенням концентрації ПАР вище ККМ. Електроліти зазвичай збільшують поверхневий натяг розчину, оскільки поверхня збіднена іонами, тобто їх адсорбція на поверхні вода-повітря негативна.
Рис. 3. Введені в водну фазу компоненти впливають на поверхневий натяг трьома різними способами
Значення динамічного поверхневого натягу
Динамічний поверхневий натяг — це зміна поверхневого натягу до моменту досягнення рівноваги. У момент утворення поверхні рідина-повітря поверхневого шару не відрізняється від складу обсягу рідини і поверхневий натяг за значенням близько до середньоарифметичному значенню поверхневих натягів індивідуальних компонентів. При рівновазі компонент з більш низьким поверхневим натягом переважно адсорбується на поверхні, поверхневий шар збагачується цим компонентом, а поверхневий натяг розчину знижується. Цей процес залежить від часу і насамперед від дифузії компонентів до поверхні. В якості прикладу на рис. 4, а наведені дані для системи вода-етанол. У момент утворення нової поверхні в цій системі при 40%-ної концентрації етанолу в розчині поверхневий натяг одно середньоарифметичному значенню поверхневих натягів води та етанолу, іншими словами, пропорційно до складу розчину. Переважна адсорбція компонента з більш низьким поверхневим натягом призводить до того, що поверхневий натяг знижується до рівноважного значення.
Типова залежність поверхневого натягу від часу представлена на рис. 4, б. Поверхневий натяг в початковий момент часу близько до поверхневого натягу чистої води. Динамічний поверхневий натяг грає важливу роль у багатьох технологічних , наприклад у процесі друкування. У цьому процесі рівноважний поверхневий натяг ніколи не досягається, тому характеристика таких систем за допомогою рівноважного поверхневого натягу не має сенсу.
Рис. 4. а — Поверхневий натяг змінюється від середньоарифметичного значення для індивідуальних компонентів до рівноважного поверхневого натягу. З дозволу John Wiley & Sons, Inc .. б — Після утворення нової поверхні система релаксує до рівноважного поверхневого натягу внаслідок адсорбції більш поверхнево-активних молекул
Поряд з часом, необхідним для дифузії компонента до міжфазної межі рідина-повітря, є ще дві причини тимчасової залежності поверхневого натягу. По-перше, зміна конфігурації великих молекул на поверхні. Для досягнення рівноважного поверхневого натягу розчинів зазвичай потрібно досить тривалий час. Друга причина зумовлена присутністю в системі більше одного розчиненого компонента. У цьому випадку тривалість досягнення рівноваги визначається конкурентної адсорбцією на поверхні розчинених компонентів.
Зв’язок поверхневого натягу з адсорбцією
Розглянемо співвідношення між адсорбцією і поверхневим натягом в рамках теорії регулярних розчинів. Для обговорення адсорбції розчиненої речовини на поверхні рідина-повітря необхідно визначити, що таке поверхню. Перше визначення поверхні сходить до робіт Гіббса. визначив положення поверхні наступною умовою: концентрація розчинника дорівнює половині суми концентрацій в об’ємі розчинника і в рівноважному з ним парі. Адсорбція поверхнево-активної речовини зазвичай позначається як Г, де індекс вказує, що поверхню і, отже, адсорбція визначаються розчинником.
Для неіонних ПАР адсорбція пов’язана з поверхневим натягом рівнянням Гіббса:
де а — активність розчиненої речовини в розчині. Оскільки концентрація ПАР в розчині аж до KKM дуже мала, активність можна замінити на концентрацію поверхнево-активного компонента С; тоді отримуємо:
Адсорбцію поверхнево-активного компонента можна визначити по нахилу залежності поверхневого натягу від логарифма концентрації. На рис. 5 представлені такі залежності для ряду розчинів у воді спиртів з неполярними радикалами середньої довжини. Залежності мають однаковий нахил. Це вказує на те, що адсорбція не залежить від довжини вуглеводневого радикала. Слід відзначити практично лінійний цих залежностей при високих концентраціях, що свідчить про сталість адсорбції).
Для мономолекулярної адсорбції кількість адсорбованої речовини назад пропорційно площі поперечного перерізу адсорбованої молекули О. Співвідношення має вигляд
де Г — адсорбція, виражена в нмоль / м 2.
Рис. 5. Залежності поверхневого натягу від концентрації водних розчинів ряду довго-цепочечних спиртів
Той факт, що нахили кривих, наведених на рис. 5, однакові означає, що нормальні спирти мають однакову площу на молекулу в адсорбційному шарі, незалежно від довжини гідрофобної радикала. Сталість площі на молекулу в поверхневому шарі для спиртів з гідрофобними радикалами середньої довжини узгоджується з молекулярним упорядкуванням на поверхні: полярні групи спрямовані у бік води, а неполярні гідрофобні ланцюги спрямовані в бік повітря.
У випадку іонних ПАР необхідно враховувати, що з молекулами ПАР асоційовані протівоіони і що поверхня в цілому повинна бути електронейтральної. Рівняння і приймають при цьому вигляд
Однак при надлишку потрібно користуватися рівняннями і. Причина в тому, що надлишок солі нівелює вплив протиіонів на поверхні, і ПАР адсорбується на поверхні як індивідуальний компонент, не супроводжується протиіонів.
Зв’язок адсорбції поверхнево-активних речовин на межі рідина-повітря з критичним параметром упаковки
Як і спирти з гідрофобними групами середньої довжини, поверхнево-активні речовини також адсорбуються на поверхні рідина-повітря так, що полярні групи спрямовані у бік води, а гідрофобні частини молекул — у бік повітря. На рис. 6 показані ізотерми поверхневого натягу етоксильовані алкілсульфати при різних концентраціях солі. Видно, що зі збільшенням вмісту солі а) знижується ККМ, б) граничне поверхневий натяг при концентраціях вище KKM зменшується, в) нахил кривих поблизу KKM збільшується, що вказує на збільшення адсорбції в відповідності з рівняннями. Всі три факти вказують на збільшення критичного параметра упаковки системи внаслідок екранування проти-іонами полярних груп поверхнево-активної речовини. З нахилу кривих нижче KKM можна визначити, що при підвищенні концентрації солі молекули ПАР упаковуються в поверхневому шарі щільніше до збільшення ефекту екранування електролітом.
На рис. 7 представлені дані по поверхневому натягу розчинів ряду неіонних ПАР типу Ci6E. Видно, що НПАВ з більш короткими поліоксил-етиленових ланцюгами краще упаковуються на поверхні вода — повітря, і нахил залежностей поверхневого натягу від Ig З поблизу KKM в цьому випадку більше. Все це узгоджується з концепцією КПУ; зокрема, останній збільшується зі зменшенням довжини поліоксіетіленовой ланцюга в молекулах ПАР. Відзначимо також, що поверхневий натяг при KKM і вище KKM знижується, у міру того як стають коротшими. При цьому помітного впливу на величину KKM не відзначається.
На рис. 8 представлені ізотерми поверхневого натягу розчинів сполук СЕБ при різних температурах. Відомо, що при підвищенні температури поліоксіетіленовие ланцюга стискаються, що призводить до збільшення КПУ. З цього малюнка видно, що в результаті відбувається зниження поверхневого натягу і ККМ. Детальний аналіз також показує, що адсорбція НПАВ при концентраціях нижче KKM збільшується з підвищенням температури, а отже, площа на молекулу в поверхневому шарі зменшується з підвищенням температури.
Рис. 6. Поверхневий натяг розчинів CieEsSO 4 Na при різних концентраціях солі
Рис. 7. Ізотерми поверхневого натягу розчинів ряду неіонних ПАР з різними значеннями п
Нарешті, необхідно звернути увагу на вплив домішок на поверхневий натяг розчинів ПАР. На рис. 9 представлені дані по залежності поверхневого натягу розчинів додецилсульфату натрію від концентрації. Мінімум поверхневого натягу на цій залежності обумовлений присутністю додецілового спирту, який утворюється в результаті гідролізу ДСС. Додеціловий більш поверхнево-активний, ніж ДСН, тому він переважно адсорбується на поверхні розчин-повітря, знижуючи поверхневий натяг. У міру утворення міцел в розчині молекули додецілового спирту солюбілізіруются мицеллами і десорбуються з поверхні, в результаті чого поверхневий натяг підвищується. Таким чином, якщо на залежностях поверхневого натягу від концентрації ПАР виявляється мінімум, це свідчить про те, що зразок ПАР містить домішки, що володіють більш високою поверхневою активністю, ніж основне ПАР.
Рис. 8. Ізотерми поверхневого натягу розчинів З ^ Еб, виміряні при різних температурах
Рис. 9. Поверхнево-активні домішки у зразку ПАР є причиною мінімуму на залежностях поверхневого натягу від концентрації ПАР.
Два важливі спостереження були зроблені для таких систем. По-перше, поверхневий натяг повільно знижується до досягнення рівноважного значення протягом дуже тривалого часу. Це пояснюється тим, що домішки можуть бути присутніми в дуже малих концентраціях, і зниження поверхневого натягу лімітується дифузією компонента з об’єму розчину до поверхні. По-друге, в таких системах величина рівноважного поверхневого натягу залежить від співвідношення поверхня: об’єм для конкретного зразка. Чим більше об’єм розчину, тим більше домішки може адсорбуватися на поверхні і тим сильніше знижується поверхневий натяг.
Труднощі при інтерпретації адсорбції полімерів
Вимірювання поверхневого натягу розчинів полімерів нерідко призводить до плутанини. На рис. 10 представлені залежності поверхневого натягу від об’ємної частки для полідиметилсилоксан в тетраліна. У міру збільшення молекулярної маси полімеру зниження поверхневого натягу при низькій концентрації стає більш сильним. Причина в погану сумісність полімеру і розчинника. Розчинність полімеру зменшується при збільшенні його молекулярної маси. Молекули полімеру з більшою молекулярною масою виштовхуються з об’єму розчину на поверхню, де число контактів сегментів полімеру з розчинником знижений у порівнянні з розчином. Через низьку розчинності молекул з великою молекулярною масою високомолекулярна речовина сильно концентрується на поверхні, і поверхневий натяг знижується. Відомо, що це явище часто призводило до неправильних висновків про міцелоутворення полімеру, оскільки в цьому випадку залежності поверхневого натягу від концентрації схожі на криві для міцелярних розчинів.
Рис. 10. Залежності поверхневого натягу розчинів у тетраліна полідіметілсілоксанов різних молекулярних мас від об’ємної частки полімеру в розчині.
Видно, що найбільш сильно поверхневий натяг знижується при низьких концентраціях для полімеру з найбільшою молекулярної масою, причому хід залежності аналогічний кривим зміни поверхневого натягу розчинів поверхнево-активних речовин
Рівноважний поверхневий натяг
До простих способів вимірювання поверхневого натягу належить метод дю Нуї. Платинове кільце притоплювати в рідині, і вимірюється сила, необхідна для витягування кільця через поверхню. Замість кільця можна використовувати платинову платівку. Вимірюють силу втягування платівки в рідину, ця сила залежить від крайового кута змочування пластини рідиною. Дуже простим методом вимірювання поверхневого натягу є вимірювання підйому змочувальних рідин в капілярах. Висота підйому h прямо пропорційна поверхневому натягу згідно з рівнянням г = rhpg / 2, де р-радіус капіляра, с — щільність рідини, g — прискорення вільного падіння. Це рівняння справедливе тільки для рідин, ідеально змочувальних стінки капіляра, тобто коли крайовий кут змочування дорівнює нулю.
У деяких системах рівноважний стан встановлюється дуже довго, і вимірювання поверхневого натягу в цих випадках займають тривалий час. До таких систем відносяться розчини високомолекулярних ПАР. Для подібних систем прийнятним методом вимірювання є метод висячої краплі. Мірою поверхневого натягу в цьому випадку служить форма краплі; краплі, близькі до сферичним, утворюються з рідин з великим поверхневим натягом, подовжені краплі утворюються з рідин з низьким поверхневим натягом. Цей метод придатний також для вимірювання міжфазного натягу між двома взаємно нерозчинними рідинами.
Рис. 11. Поверхневий натяг можна виміряти: методом дю Нуї, методом платівки Вільгельм, методом підйому рідини в капілярі, методом висячої краплі
Динамічний поверхневий натяг
Динамічний поверхневий натяг можна вимірювати різними способами, наприклад методом найбільшого тиску в бульбашці. Повітря безперервно пропускається через два капіляра різних діаметрів, занурених у розчин. Тиск, який потрібний для утворення бульбашки, назад пропорційно діаметру капіляра і прямо пропорційно поверхневому натягу рідини. Використання двох дозволяє не вимірювати глибину занурення капіляра в рідину. Даним методом вимірюють динамічний поверхневий натяг в інтервалах часу 1-10 мс. При необхідності вимірювати динамічний поверхневий натяг у ще більш коротких інтервалах використовують метод осциляції струменя. Рідка струмінь випускається з отвору еліптичної форми.
Через некруговой поперечного перерізу струмінь механічно нестійка, рідина в струмені прагне прийняти круговий поперечний переріз, що призводить до осциляції перетину між граничними значеннями. Частота таких осциляції пов’язана з динамічним поверхневим натягом.
Поверхневий і міжфазну натягу як результат міжмолекулярних взаємодій
Обговоримо залежність поверхневого і міжфазного натягу від особливостей взаємодії між молекулами. Для простоти викладу вклади в поверхневий натяг можна не враховувати. Запишемо енергію, що припадає на молекулу в об’ємі рідини А, як
де Waa — негативна величина, що енергію тяжіння між молекулами. Позначимо частку найближчих сусідів у площині, паралельній поверхні, як /, а частку найближчих сусідів у площині, розташованої над нею або під нею — як т. Тоді можна записати
Енергія на одну молекулу на поверхні вода-повітря описується співвідношенням
так як у площині над вода-повітря у молекули немає сусідів. Енергія , необхідна для перенесення однієї молекули з обсягу на поверхню, виражатися тоді як
Оскільки енергія Waa — негативна величина, очевидно, що для перенесення молекули з обсягу на поверхню потрібні джерела позитивної енергії. З цієї причини крапля рідини приймає сферичну форму, досягаючи таким чином мінімальної площі поверхні і, отже, мінімальної повної енергії системи.
Величина AE в рівнянні, будучи нормованої на площу поперечного перерізу молекули яa 9 дорівнює поверхневої енергії. Оскільки в цьому обговоренні ми знехтували ентропійними вкладами, ця величина дорівнює вільної поверхневої енергії або поверхневому натягу:
Рівняння ще раз показує, що поверхневий натяг рідини є наслідком енергії когезії рідини.
Міжфазну натяг характеризує не тільки енергію когезії двох рідин, що знаходяться в контакті один з одним, але також і взаємодія між цими рідинами або, точніше, взаємодія між різними молекулами. Як і раніше, запишемо енергію, що припадає на молекулу в обох рідких фазах, як
Енергія, яка припадає на молекулу типу А або В на міжфазній межі AB, виражається співвідношеннями
Енергія, необхідна для створення поверхні, виражена на одиницю площі поверхні, дорівнює міжфазній натягу:
З рівняння випливає, що міжфазну натяг пропорційно параметрам w або ч, тобто визначається відмінністю властивостей цих рідин. Так, якщо дана пара рідин сильно розрізняється за властивостями, їх міжфазну натяг буде великим як, наприклад, у системі вода-аліфатичний вуглеводень. Якщо ж рідини більш сумісні, міжфазну натяг буде зменшуватися і в межі може стати рівним нулю. Наведений аналіз є деяким наближенням, оскільки в ньому не враховувалася взаємна розчинність рідин та ігнорувались ентропійні вклади. адгезії Wq між двома матеріалами визначається вкладами міжфазної і поверхневої енергії:
З урахуванням рівнянь і, роботу адгезії можна записати в наступному вигляді:
Отже, адгезії пропорційна величині Wab і є прямою мірою міжмолекулярних взаємодій двох компонентів.
Розтікання однієї рідини по поверхні твердого тіла або по поверхні іншої рідини відбувається, якщо є виграш; в енергії, тобто повна енергія системи зменшується. Зміна енергії при растекании однієї рідини А по поверхні другої рідини В визначається наступним рівнянням:
З цього рівняння видно, що на питання про те, чи буде дана рідина розтікатися по іншої рідини, визначається балансом сил когезії розтікається рідини і міжмолекулярної взаємодії двох рідин — Розтікання сприяє сильний межмолекулярное притягання між компонентами А і В і перешкоджає велика внутрішня когезія тієї рідини , яка повинна розтікатися. Таким чином, щоб досягти розтікання однієї рідини по поверхні іншого, необхідно забезпечити тяжіння між ними, а розтікається рідина повинна мати низьку щільність енергії когезії. Таким прикладом є силіконові масла, розтікаються практично по будь-якій поверхні.
Застосування теорії регулярних розчинів до поверхневого натягу та адсорбції
На підставі теорії регулярних розчинів можна одержати співвідношення між поверхневим натягом і адсорбцією другого компонента. Теорію регулярних розчинів зручно використовувати через її простоти. Звичайно, для аналізу розчинів полімерів можна скористатися і теорією Флорі-Хаггінс, але в наступних деяка частка простоти буде загублена. У теорії регулярних розчинів приймається, що а) молекули однакові за розміром, б) взаємодія реалізується тільки між найближчими Соселія, в) при змішуванні компонентів не відбувається зміни обсягу. Зміна хімічного потенціалу при змішуванні двох рідин в порівнянні з хімічними потенціалами кожної індивідуальної рідини м а іцв виражається як
і
Параметр залежить від міжмолекулярних взаємодій:
розглядається як окрема фаза, що знаходиться в рівновазі з об’ємом розчину. Товщина поверхневої фази приймається рівною одній решеточной позиції. Тоді хімічний потенціал поверхні можна записати як
і
де р — поверхневий натяг розчину. В якості стану приймається стан поверхневої фази індивідуальних компонентів. Постійна а — це площа поперечного перерізу молекули; її можна оцінити зі співвідношення
де V-молярний об’єм, Na — постійна Авогадро. Параметр год д відрізняється від параметра об’ємної фази, оскільки в цьому випадку відсутній один гратковий шар. Тому залежність параметра ч д від міжмолекулярних взаємодій має вигляд:
Для гексагональної год д = 0.75ч.
При рівновазі фази розчину з поверхневою фазою їх хімічні потенціали однакові, відповідно отримуємо:
Для індивідуальних компонентів рівняння перетворюються в
де уд і ув — натягу чистих рідин. Таким чином, ясно, що поверхневий натяг чистої рідини є різниця хімічних потенціалів поверхневої і об’ємної фаз, нормована на поперечний переріз молекул.
рівняння в рівняння, отримаємо:
і
Аналіз рівнянь і показує, що зміна поверхневого натягу не обов’язково пов’язано зі зміною поверхні. Такі зміни можуть бути також обумовлені змінами в об’ємі розчину. Водні розчини сумішей неорганічних є прикладом таких систем. Оскільки електроліти не володіють спорідненістю до поверхні, вони накопичуються в об’ємі розчину, знижуючи концентрацію розчинника, і, відповідно до рівняннями, поверхневий натяг має збільшуватися. Аналогічно , якщо поверхневий натяг не змінюється при введенні другого компонента, це не означає, що розчинений компонент не адсорбується на поверхні. З рівнянь випливає, що введення другого компонента може призводити до ситуації, коли поверхневий натяг не змінюється, при виконанні наступної умови: розчинена речовина має приблизно порівну розподілятися між поверхнею та об’ємної фазою, тобто Xg / г в * L
Для атермальниє розчину, тобто за умови ч = 0, поверхневий натяг можна легко розрахувати. Використовуючи рівняння, після низки алгебраїчних перетворень отримаємо:
і
Алгебраїчна форма рівнянь і ідентична рівнянь і відповідно для змішаних міцел. Величина ехр KKM. Цей результат не дивний, оскільки поверхневий натяг розчину відображає його складу так само, як KKM суміші ПАР відбиває склад змішаної міцели. Рівняння вказують на те, що компонент з більш низьким поверхневим натягом переважно адсорбується на поверхні. З цієї причини поверхневий натяг розчину завжди нижче середньоарифметичного поверхневого натягу індивідуальних компонентів. Комбінуючи рівняння і і виключаючи поверхневий натяг розчину, отримаємо рівняння ізотерми адсорбції, яке встановлює зв’язок між складом поверхні і складом розчину:
Якщо знехтувати взаємодіями між молекулами розчинника і розчиненої речовини, вважаючи, що ч = ч д = 0, рівняння приймає вигляд
Дане рівняння при низьких концентраціях розчиненого речовини являє собою рівняння Ленгмюра
У рівнянні константа рівняння Ленгмюра До виражається співвідношенням
