Конструктивная ветвь — Реферат, раздел Философия, — 2004 год — Три кризиса оснований математики Конструктивная Ветвь. Попытки Спасти Интуиционистские Идеи И Начинания, Разви…
Конструктивная ветвь. Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистского направления, конструктивисты отмежевались от субъективистских выводов его философии и внесли существенные уточнения в методы построения математических объектов, расширив базис конструкции.
Молодое течение, прежде всего его отечественные представители А.А. Марков, Н.А. Шанин, подвергли критике философские установки интуиционистов понимание истины, вопрос о критериях истины и др. В частности, отказываясь от абстрактных показателей истинности математического знания, лидеры интуиционизма апеллировали к изначальной интуиции, подчеркивая ясность ее образований.
Обращаясь к этой фундаментальной философской установке, А.А. Марков приходит к выводу, что она неприемлема. Критике была подвергнута и интуиционистская идея свободно становящейся последовательности, как несущая с собой мысль о бесконтрольности математического творчества перед постулатами логики, как деятельность, опиравшаяся на поток сознания, якобы, не детерминированный никакими внешними ему определениями. Другим пунктом расхождений было следующее. Интуиционизм, принимая идею свободно становящейся последовательности, предполагал в качестве среды свободного становления континуум.
Однако, как замечает А. Марков, судя по описаниям интуиционистов, свободно становящиеся последовательности не являются конструктивными объектами и их нельзя рассматривать, не привлекая абстракцию актуальной бесконечности Марков А.А. О логике конструктивной математики. М. Знание, 1972. С. 45. Далее, конструктивисты не считают математическое построение чисто умственным занятием как принято в интуиционизме. Мысленный характер имеют не наши построения, а рассуждения о них в частности, об абстракции потенциальной осуществимости. Принимается следующее определение Конструктивная математика — абстрактная, умозрительная наука о конструктивных процессах, о нашей способности осуществлять такие процессы и их результатах — конструктивных объектах. Примером конструктивного процесса может быть построение ряда вертикальных палочек I I I I I. Оно осуществляется посредством написания одной палочки, приписывания к ней справа другой, к полученным — еще одной, затем еще, и еще одной. В итоге имеем конструктивный объект, изображенный выше. Назовем его натуральным числом, в нашем случае — пять Марков А.А. О логике конструктивной математики.
М. Знание, 1972. С. 4. Конструктивизм разрабатывает понятие алгоритма как разрешающей процедуры, распадающейся на ряд строго задаваемых действий или предписаний в их четкой детерминированности. Алгоритм есть последовательность операций, шагов, где каждый данный шаг однозначно детерминирован предыдущим и, в свою очередь, столь же однозначно детерминирует последующий шаг, то есть мы знаем что и в какой последовательности надо делать.
Например, умножение, извлечение корня и т.д. Отсутствие этого понятия тормозило развитие конструктивного направления.
Алгоритм вносит а точность предписания, не оставляя места произволу б возможность решения по одной и той же программе любой из некоторого класса задач, отличающихся значениями каких-либо параметров массовость алгоритма в направленность, организуя на достижение известной цели и гарантируя искомый результат См. Яновская С.А. Методологические проблемы науки.
М. Мысль, 1972. С. 188 В 30-х г. прошлого века А.Марковым развито понятие нормального алгорифма, серьезно повлиявшего на развитие конструктивных методов. Нормальный алгоритм есть стандартное предписание, определяемое его схемой. Благодаря предписанию любое слово алфавита последовательность символов или букв, образуемая из символов, принятых в данном алфавите может быть преобразовано в некоторое другое слово.
Алгорифм определяет и окончание процесса, хотя последний может и не наступить. Вместе с тем уточняются логические основания конструктивной математики. В его фундаменте лежат те же логические установки, что приняты интуиционизмом ограничение области действия закона исключенного третьего, иное понимание операций отрицания, уточнение импликации. На основе идей конструктивизма были разработаны новые подходы, обогатившие математический анализ.
Создается конструктивная теория функций действительного переменного. В ряду особо важных достижений теории исследователи отмечают доказательство теоремы о непрерывности конструктивных функций. Получили плодотворное развитие конструктивные теории дифференцирования и интегрирования, конструктивный функциональный анализ. Благодаря этому появились новые методы, способствующие прогрессивному развитию математической мысли, новым открытиям.
Таковым было например, достижение молодого отечественного математика конструктивистской школы Ю. Матиясевича, который установил в 1970 г. алгоритмическую неразрешимость 10-й проблемы Гильберта, ожидавшей своего часа целых 70 лет. Мы рассмотрели интуиционистское обоснование математики и его развитие конструктивистами. Следует отметить, что несмотря на субъективно-идеалистические посылки интуиционизма, он вносит новое понимание проблемы и новые методы, оказавшиеся особенно успешными в части их ориентации на идею конструктивного построения математических объектов и имеющие, по мнению специалистов в том числе и не-интуиционистского лагеря, хорошие перспективы.
Вместе с тем интуиционизм и конструктивизм, естественно, также не могли единолично решить проблему обоснования. На том, что сделано интуиционизмом и конструктивизмом, также не могла быть законченной работа по выявлению аспектов подхода к сущности математических объектов, оправданию правомерности их существования. 6
Развернуть
Все темы данного раздела:
Первый кризис оснований математики в греческий период его развития. Предпосылки для превращения математики в теоретическую науку впервые возникли в Древней Греции. Особенно важную роль в фор
Второй кризис основания математики Проблема обоснования дифференциального исчисления. В эпоху средневековья философия математики не вышла за рамки пифагореизма в его платонистской и неоплатонистско
Метафизическое обоснование бесконечно малых. Метафизическое или натурфилософское обоснование в науке состоит в стремлении вывести те или иные ее закономерности из некоторых фундаментальных свойств
Физическая и геометрическая аргументация. Итак, отказ от метафизики в разработке конкретных научных проблем, продемонстрированный в работах Ньютона, Д Аламбера, Лагранжа, Карно и других вернул мате
Неевклидовы геометрии и развитие философии математики в XIX в. Философские дискуссии в математике XIX в. были связаны в основном с развитием геометрии, а именно с истолкованием неевклидовых геометр
Философия математики в начале XIX в. В начале XIX в. в истолковании математики имели влияние два направления эмпиризм и априоризм. Платон в свое время различал арифметику и геометрию в соотв
Основные направления философского обоснования неевклидовых геометрий в XIX в. В 1854 г. Б. Риман выдвинул концепцию n-мерных геометрических многообразий — чрезвычайно общее понимание пространства,
Становление современной концепции математики. Большой вклад в правильное понимание неевклидовых геометрий внес выдающийся французский математик А. Пуанкаре. Пуанкаре был одним из первых мате
Третий кризис оснований математики. Едва улеглись страсти после второго кризиса оснований, как в конце XIX столетия назрел третий, самый глубокий и продолжительный, который волнует математику, логи
Этап арифметизации задачи. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в жизнь эту идею итальянский математик Д. Пеано, по-видимому, уже сознавал, чт
Второй этап — аксиоматизация арифметики. Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести указав правила перехода из исходных, простейших элементов всю совоку
Причина неудач. Выполнение замысла логистов близилось к концу оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги Основания теории множеств А.
Философская оценка. В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной, и сами лог
Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности. Новая ориентация в обоснованиях, впервые заявившая о себе в 1907 г. представляла реакцию на попытки придать математике чисто логиче
Интуитивистская альтернатива. Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике в несовершенстве ее аппарат, а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде в
Ограниченность интуиционизма. Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение.
Программное заявление. Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение — формализм
Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики. Чтобы доказать непротиворечивость, Гильберт использует метод так называемого абсолютного доказательства, который находит ре
Результаты Геделя. В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель позднее, после аншлюсса эмигрировавший в США доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гиль
