Расчет показателей надежности простейшей системы электроснабжения вероятностными методами

метки: Надежность, Электроснабжение, Подстанция, Вероятность, Система, Состояние, Аналитический, Определение

Термины и определения, используемые в теории надежности, регламентированы ГОСТ 27.002-89 «Надежность в технике. Термины и определения».

Надежность

состояниями

Исправность, Работоспособность, Предельное состояние, Повреждение

• Отказ — событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта.

Критерий отказа

Для некоторых объектов предельное состояние является последним в его функционировании, т.е. объект снимается с эксплуатации, для других — определенной фазой в эксплуатационном графике, требующей проведения ремонтно-восстановительных работ. В связи с этим объекты могут быть разделены на два класса:

невосстанавливаемые

восстанавливаемые

К числу невосстанавливаемых объектов можно отнести, например, электронные и электротехнические детали (диоды, сопротивления, конденсаторы, изоляторы и другие элементы конструкций).

Объекты, состоящие из многих элементов, например, трансформатор, выключатель, электронная аппаратура, являются восстанавливаемыми, поскольку их отказы связаны с повреждениями одного или нескольких элементов, которые могут быть отремонтированы или заменены. В ряде случаев один и тот же объект в зависимости от особенностей, этапов эксплуатации или назначения может считаться восстанавливаемым или невосстанавливаемым.

Введенная классификация играет важную роль при выборе моделей и методов анализа надежности.

комплексным

Составляющих (единичных) свойств,

безотказность;

• долговечность;
• ремонтопригодность;
• сохраняемость.

Безотказность — свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторой наработки или в течение некоторого времени.

Долговечность, Ремонтопригодность, Сохраняемость

В зависимости от объекта надежность может определяться всеми перечисленными свойствами или частью их.

Наработка, Показатель надежности

Задание на расчёт

Система электроснабжения, представленная на рис.1, включает в себя два энергорайона, питающихся от одного источника Г. Второй энергорайон получает питание по воздушной ЛЭП.

9

Первый энергорайон подключен через две подстанции А и Б , соединенные параллельно по низкой стороне. Каждая подстанций способна обеспечить питание данного энергорайона, поэтому нарушение электроснабжения наступает только при одновременном обесточивании подстанций А и Б .

­ 01 ­ Сайт: Московский технологический институт «ВТУ» — СДО ...

... для анализа надежности элементов и систем электроснабжения предприятия 3) Расчетные методы анализа надежности элементов и систем электроснабжения предприятия 4) Экономико­математические модели для оптимизации надежности электроснабжения. Данная курсовая работа посвящена расчету и анализу надежности системы восстанавливаемых объектов энергообеспечения предприятия. Таким образом, ...

Второй район имеет одну подстанцию В и отключается при всех отказах, ведущих к обесточиванию этой подстанции.

Требуется найти аналитическим методом и методом статистических испытаний (методом Монте-Карло)

• вероятность безотказной работы (показатель безотказности) системы, зная вероятности безотказной работы отдельных ее элементов
• абсолютную и относительную погрешности оценки искомого показателя надежности статистическим методом при разном числе испытаний.

Исходные данные

По результатам испытаний, или обработки статистики, получены вероятности

Р _Г = 0.95; Р _Т = 0.985; Р _ВЛ = 0.89;

Так же определены вероятности безотказной работы трансформаторов подстанций

Р _А = Р _Б = Р _В = 0.96.

Расчёт надёжности

Безотказная работа рассматриваемой части системы электроснабжения будет тогда, когда в соответствии с принятыми условиями в работоспособном состоянии находятся

• все подстанции А и Б и В ,

• одна из подстанций А или Б , и подстанция В .

Одновременное обесточивание подстанций А и Б, или обесточивание подстанции В , так же как и одновременное обесточивание всех трех подстанций является отказом системы .

Для решения задачи требуется знать вероятности обесточивания подстанций. Подстанции обесточиваются, если повреждается (выходит из работы) хотя бы один из элементов системы в цепи, соединяющей соответствующую подстанцию ( А и Б, или В ) с источником генерируемой мощности, а также при отказе самого источника Г , или устройств подстанции.

Вероятности обесточивания подстанций могут быть вычислены по данным о надежности элементов цепи соединения, либо могут быть получены в результате обработки статистики (опытных данных) о функционировании подстанций в прошлом. Так, если за K лет собрана статистика о числе случаев обесточивания n _j каждой j- ой подстанции и длительностях пребывания ? _i их в таком состоянии при i- ом обесточивании (i = 1.. n _j ), то можно определить среднее время пребывания подстанций в обесточенном состоянии — ? _oi по формуле

? _oi = , {часгод} (1)

Соответственно, среднее время пребывания подстанций в работоспособном состоянии T _{0 j} определиться по формуле

T _{0 j} = T _год — ? _{oi ,} (2)

где T _{0 j} — календарное число часов в расчетном периоде — в данном случае, это один расчетный год, равный 8760 час.

Параметры T _{0 j} и ? _oi можно использовать для определения других показателей надежности подстанции. Так, вероятность безотказной работы подстанции вычисляется по формуле

P _j = T _{0 j} / T _{год ,} , здесь j = {Г, Т, А, Б, ВЛ, В} (3)

Определив по заданной статистике значения P _{j ,} , рассчитаем функцию надежности системы в целом, которая, как показатель безотказности, соответствует вероятности ее безотказной работы.

Аналитический метод

Из большого числа применяющихся аналитических методов воспользуемся вероятностными, основанными на теоремах сложения и умножения для групп совместных и несовместных событий. В соответствии с этими теоремами, на первом этапе решения данной задачи определяются вероятности бесперебойного электроснабжения каждой из подстанций по вероятностям безотказной работы элементов, образующих последовательные цепочки связей подстанции с источником питания Г . Допустим, что по результатам испытаний, или обработки статистики, получены эти вероятности.

По вероятностям безотказной работы элементов из исходных данных найдём вероятности работоспособного состояния V _j для каждой из подстанций по формулам:

V А	=	Р Г . Р Т . Р А	=	0.95 . 0.985 . 0.96 .	=	0.898
V Б	=	Р Г . Р Т . Р Б	=	0.95 . 0.985 . 0.96 .	=	0.898
V В	=	Р Г . Р Т . Р В . Р ВЛ	=	0.95 . 0.985 . 0.96 . 0.89	=	0.800

Полученные результаты показывают, что вероятность работоспособного состояния для подстанции В ниже, чем для А или Б , так как в цепочке связи от Г к В имеется дополнительный элемент — ВЛ , — надежность которого отражается на состоянии подстанции В . Подстанции А и Б находятся в одинаковых условиях , поэтому V _А = V _Б .

По полученным значениям V _А, V _Б, V _В вычисляются вероятности безотказного электроснабжения энергорайонов — V _№1 и V _№2 . Для энергорайона №1 схема замещения по надежности показана на рис. 2.

Для данной схемы вероятность V _№1 определиться как:

V _№1 = Р _Г ^. Р _Т ^. (1-(1- Р _А )(1- Р _Б )) = 0.95 ^. 0.985 ^. (1-(1- 0.96)(1- 0.96)) = 0 .934.

Для энергорайона №2 схема замещения по надежности линейна, поэтому

V _№2 = V _В = 0.8.

Вероятность безотказной работы системы в целом определиться в соответствии с теоремой умножения для совместных событий

V _sys = V _№1 ^. V _№2 = 0.934 · ^· 0.8 = 0.7472.

Метод статистических испытаний

Для решения данной задачи методом Монте-Карло предполагается использовать датчик случайных чисел v с равномерным распределением в интервале [0..1]. Эти числа сравниваются со значениями V _{А ,} V _Б, V _В . Сформулируем решающее правило :

если значение случайного числа v не больше вероятности работоспособного состояния каждой из подстанций

v ? V _j , , j { А, Б, В }, (4)

то соответствующая подстанция находится в рабочем состоянии, иначе — в обесточенном состоянии.

На этом принципе строятся «испытания» по оценке состояний системы. Если в результате разыгрывания «состояний подстанций» отказов в электроснабжении не будет, то испытание признается положительным, в противном случае — отрицательным. Вероятность безотказной работы системы U _sys в этом методе определяется по формуле:

U _sys = N ⁺ / N = 1 — N ^— / N , (5)

где N — общее число испытаний, N ⁺ — число положительных, N ^— — число отрицательных испытаний, N = N ⁺ + N ^— .

Результат каждого испытания удобно представить значением двоичной (бинарной) переменной b _j , принимающей значение 1, если выполнен критерий (4) и 0 в ином случае:

если v ? V

Из рис. 1 и выражений (4) и (5) следует:

b _sys = (b _A +b _Б )·b _В , (6)

где b _sys — состояние системы.

Тогда, после N испытаний, значение N ⁺ можно определить как

N ⁺

В таблице №1 показана реализация данной методики (подготовлена в Excel) и приведены результаты разыгрывания случайных состояний системы методом Монте-Карло при числе испытаний N = 10.

По данным из таблицы №1 получаем статистическую оценку вероятности работоспособного состояния системы: число значений b _sys = 0 равно трем, то есть

N ^— = 3, N ⁺ = 7, U _sys = 7/10 = 0.7.

Абсолютная погрешность этого результата по сравнению с аналитическим методом равна

= | U _sys — V _sys | = 0.7- 0.7472 = 0.0472. (7)

Относительная погрешность

= ( / V _sys ) 100% = 0.0472/0.7472 = 6.3%. (8)

В соответствии с заданием, увеличим число испытаний вдвое. Для этого достаточно модифицировать данные в Excel — таблице, снова подсчитать число значений b _sys = 0 и, сложив с прежним, получим (показан фрагмент таблицы)

N ^— = 3+2, N ⁺ = 20 — 5 = 15, U _sys = 15/20 = 0.75.

Абсолютная погрешность этого результата по сравнению с аналитическим методом равна

= | U _sys — V _sys | = 0.75 — 0.7472 = 0.0028.

Относительная погрешность

= (/ V _sys ) 100% = 0.0028/0.7472 = 0.4%.

Дополнительные замечания о методе Монте-Карло

1. Известно, что точность оценки искомых характеристик тем выше, чем больше число испытаний. Для того чтобы выбрать величину N для конкретных испытаний, задаются вероятностью (доверительной) получения правильного решения, обычно принимаемого равной 0.997 , что соответствует диапазону ± 3? для нормального распределения, где ? = vD — с.к.о. исследуемой случайной величины. Тогда необходимое число испытаний определится из формулы

? =	(9)

где ? — заданная погрешность определения искомой величины.

Для получения более точного результата число испытаний согласно (9), должно быть равно

N = (0.675·

0.001 (0.1%),

0.7472 ^. ( 1 ± 0.001) = [0.7464, 0.7479] .

Исходя из правила «три сигма», зададим величину ? как крайний возможный случай:

? = ( 1- V _sys ) / 3 = (1-0.7472)/3 = 0.084 .

Тогда требуемое число испытаний будет равно

N = (0.675·0.084/0.001) = 3215.

2. В приведенных выше расчетах принята упрощенная модель статистических испытаний с использованием расчетных вероятностей безотказной работы подстанций, а не отдельных элементов системы, с целью сокращения размерности задачи. Не учитывались также вероятности одновременного отказа нескольких элементов, что необходимо для получения правдоподобных результатов.

3. Датчик случайных чисел с равномерным распределением используется при отсутствии каких-либо сведений о фактическом законе распределения. Достоинство равномерного распределения — простота применения, так как нет необходимости в определении его параметров. Но оценки, полученные в численных экспериментах, оказываются «пессимистическими», если реальный закон существенно отличается от равномерного. Кроме того, датчики случайных чисел с равномерным распределением плохо «работают» при очень малых или очень больших значениях вероятности. Поэтому при выборе модели статистических испытаний большое внимание уделяется обоснованию использования того или иного закона распределения.

Таблица 1

Анализ надежности методом Монте-Карло

Блок	ВБР	V	b		Блок	ВБР	V	b
А	0,898	0,144601	1		А	0,898	0,722673	1
Б	0,898	0,338975	1		Б	0,898	0,580761	1
В	0,8	0,285878	1		В	0,8	0,862889	0
(А+Б)		ИСТИНА	1		(А+Б)		ИСТИНА	1
SYS=(А+Б)*В			1		SYS=(А+Б)*В			0
А	0,898	0,284892	1		А	0,898	0,531509	1
Б	0,898	0,133744	1		Б	0,898	0,157723	1
В	0,8	0,710715	1		В	0,8	0,206039	1
(А+Б)		ИСТИНА	1		(А+Б)		ИСТИНА	1
SYS=(А+Б)*В			1		SYS=(А+Б)*В			1
А	0,898	0,621382	1		А	0,898	0,344317	1
Б	0,898	0,803256	1		Б	0,898	0,752622	1
В	0,8	0,99176	0		В	0,8	0,714726	1
(А+Б)		ИСТИНА	1		(А+Б)		ИСТИНА	1
SYS=(А+Б)*В			0		SYS=(А+Б)*В			1
А	0,898	0,189668	1		А	0,898	0,043997	1
Б	0,898	0,943037	1		Б	0,898	0,305982	1
В	0,8	0,774708	1		В	0,8	0,26292	1
(А+Б)		ИСТИНА	1		(А+Б)		ИСТИНА	1
SYS=(А+Б)*В			1		SYS=(А+Б)*В			1
А	0,898	0,647489	1		А	0,898	0,523631	1
Б	0,898	0,196592	1		Б	0,898	0,788625	1
В	0,8	0,937071	0		В	0,8	0,295981	1
(А+Б)		ИСТИНА	1		(А+Б)		ИСТИНА	1
SYS=(А+Б)*В			0		SYS=(А+Б)*В			1

Фрагменты модифицированной таблицы:

А	0,898	0,126677	1		А	0,898	0,906062	0
Б	0,898	0,305332	1		Б	0,898	0,644128	1
В	0,8	0,878459	0		В	0,8	0,196328	1
(А+Б)		ИСТИНА	1		(А+Б)		ИСТИНА	1
SYS=(А+Б)*В			0		SYS=(А+Б)*В			1

А	0,898	0,308921	1		А	0,898	0,804801	1
Б	0,898	0,823393	1		Б	0,898	0,967697	0
В	0,8	0,749413	1		В	0,8	0,964051	0
(А+Б)		ИСТИНА	1		(А+Б)		ИСТИНА	1
SYS=(А+Б)*В			1		SYS=(А+Б)*В			0

Заключение

В курсовой работе был произведён расчёт показателей надежности простейшей системы электроснабжения двумя вероятностными методами: аналитическим и методом статистических испытаний. Абсолютная погрешность результата, полученного методом Монте-Карло по сравнению с аналитическим методом равна 0.0028. Относительная погрешность составила 0.4%. Также была проведена оценка количества испытаний.

1. Надежность и диагностика систем электроснабжения железных дорог: учебник для ВУЗов жд транспорта / А.В. Ефимов, А.Г. Галкин.- М: УМК МПС России, 2000. — 512с.

2. Китушин В.Г. Надежность энергетических систем: учебное пособие для электроэнергетических специальностей вузов.- М.: Высшая школа, 1984. — 256с.

3. Ковалев Г.Ф. Надежность и диагностика технических систем: задание на контрольную работу №2 с методическими указаниями для студентов IV курса специальности «Электроснабжение железнодорожного транспорта». — Иркутск: ИРИИТ, СЭИ СО РАН, 2000. -15с.

4. Дубицкий М.А. Надежность систем энергоснабжения: методическая разработка с заданием на контрольную работу. — Иркутск: ИрИИТ, ИПИ, СЭИ СО РАН, 1990. -34с.

5. Пышкин А.А. Надежность систем электроснабжения электрических железных дорог. — Екатеринбург: УЭМИИТ, 1993. — 120 с.

6. Шаманов В.И. Надежность систем железнодорожной автоматики и телемеханики: учебное пособие. Иркутск: ИрИИТ, 1999. 223с.

7. Гук Ю.Б. Анализ надежности электроэнергетических установок. — Л.: Энергоатомиздат, Ленинградское отд., 1988. — 224с.

8. Маквардт Г.Г. Применение теории вероятностей и вычислительной техники в системе энергоснабжения.- М.: Транспорт, 1972. — 224с.

9. Надежность систем энергетики. Терминология: сборник рекомендуемых терминов. — М.: Наука, 1964. -Вып. 95. — 44с.