Моделирование технологических процессов

метки: Процесс, Моделирование, Технологический, Фактор, Модель, Эксперимент, Объект, Уровень

Моделирование — это метод познания, состоящий в создании и исследовании моделей. Каждый объект имеет большое количество различных свойств. В процессе построения модели выделяются главные, наиболее существенные для проводимого исследования свойства.

Модель — это некий новый объект, который отражает существенные особенности изучаемого объекта, явления или процесса. Один и тот же объект может иметь множество моделей, а разные объекты могут описываться одной моделью.

Информационная модель — это модель данных, их структур и процедур обработки. Другими словами, информационная модель — это схема, описывающая информацию об объекте и процедуры его исследования. Считаем, что для более полного описания характеристик модели необходимо обратиться к понятию переменной, замещающей атрибут объекта познания.

Компьютерная информационная модель описывается совокупностью переменных, представленных абстрактными типами данных и сконструированных в соответствии с требованиями некоторой компьютерной среды, обусловленными ее (среды) средствами обработки информационной модели.

Виды моделирования:

• информационное моделирование;
• компьютерное моделирование;
• математическое моделирование;
• цифровое моделирование;
• логическое моделирование;
• структурное моделирование;
• физическое моделирование;
• экономико-математическое моделирование;
• имитационное моделирование;
• моделирование в промышленности;
• нечеткое моделирование;
• модельное моделирование.

1 Моделирование технологических процессов

1.1 Общие положения

Модели технологических процессов могут быть детерминированными и стохастическими. В детерминированных моделях процесс или действие объекта описывается аналитическими выражениями, чаще всего системами дифференциальных или алгебраических уравнений.

В стохастических моделях процесс или действие объекта описывается стохастическими уравнениями, и физический смысл имеют не отдельные реализации процесса, а совокупность реализаций и их параметры (математическое ожидание, дисперсия, корреляционные зависимости и т.д.).

Эффективность стохастических моделей в значительной степени определяется качественным выполнением всех этапов эксперимента (выдвижение гипотезы, планирование, проведение, обработка результатов и т.д.).

Математическая модель

... помощью объекта-модели называется моделированием.» (с. 6) «Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит ...

По данным эксперимента определяется зависимость математического ожидания переменной y (отклика) от независимых переменных (факторов) x1 , x2 , … , xm , которые, как предполагается, влияют на объект исследования:

y = f (x1 , x2 , … , xm , Q1 , Q2 , … , Qm ) , (1)

где Q1 , Q2 , … , Qm — параметры модели.

Выражение (1) называют функцией отклика.

В технологических исследованиях имеются:

• факторы, не допускающие целенаправленного изменения их в ходе исследования (твердость, состав, структура материала и т.п.);
• управляемые факторы, с помощью которых реализуется заданные условия работы объекта ( режимы обработки , характеристики оборудования и оснастки и т.п.);
• неконтролируемые входные или независимые факторы, характеризующие действующие на объект возмущения (неконтролируемые изменения химического состава, температуры, изменение свойств оборудования и оснастки во времени и так далее).

В функции отклика обычно учитываются только факторы первых двух групп. Действие неконтролируемых факторов приводит к дрейфу характеристик объекта (значение отклика).

По числу переменных эксперименты разделяют на одно- и многофакторные : при однофакторных изменяют и регистрируют один фактор ,при многофакторных — несколько факторов (независимых переменных).

Объекты исследований в эксперименты разделяют на статистические и детерминированные, управляемые и неуправляемые.

В статистических объектах отклик y находится в стохастической связи с факторами x1 , x2 , … , xm .

Для детерминированных объектов характерны функциональные связи между неслучайными величинами.

Управляемость объекта определяется возможностью воспроизведения на нем результатов опыта. Эксперимент, в котором уровни факторов в каждом опыте задаются исследователем, называют активным, а в противном случае — пассивным. В зависимости от типов переменных и функции отклика, эксперимент может быть качественным и количественным. По месту проведения эксперимент может быть лабораторным и промышленным. В зависимости от режима реализации различают автоматизированный и неавтоматизированный эксперимент. Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов , называется полным факторным экспериментом. Для двух уровней каждого фактора имеем полный факторный эксперимент типа 2 ^к , где к — количество факторов; число необходимых опытов N=2^к (таблица 1).

Таблица 1

Полный факторный план для двух факторов (2 ² )

Номер опыта	X 1	X 2	y
1	+1	-1	y 1
2	-1	-1	y 2
3	+1	+1	y 3
4	-1	+1	y 4

Планируя эксперимент, на 1-ом этапе стремятся получить модель — полином первой степени (линейная модель), хотя нет гарантии ,что при выбранных уровнях варьирования процесс описывается линейной моделью. Коэффициенты полинома (линейной модели),(формула 2).

, j = 0 , 1 , … , m (2)

где bj — коэффициент модели с номером j;

• xji — значение j-ого фактора в i-м опыте плана;
• yi — значение функции отклика в i- м опыте плана .

Таблица 2

Полный факторный план для трех факторов (2 ² )

Номер опыта	X 1	X 2	X3	y	Номер опыта	X 1	X 2	X 3	y
1	+1	+1	+1	y 1	1	-1	+1	+1	y 5
2	+1	+1	-1	y 2	2	-1	+1	-1	y 6
3	+1	-1	+1	y 3	3	-1	-1	+1	y 7
4	+1	-1	-1	y 4	4	-1	-1	-1	y 8

Соответствие полученной математической модели процесса экспериментальным данным называется адекватностью. Уравнение адекватно описывает результаты опытов, если квадратическое отклонение значений зависимой переменной, рассчитанных по модели (yМi), от экспериментальных данных (yi) обусловлено только ошибкой воспроизведения, т.е. случайным характером этого параметра.

Если линейная модель неадекватна, то рассматривают модели, учитывающие взаимодействие факторов (таблица 3) , для чего пользуются правилом перемножения столбцов.

Таблица 3

Полный факторный план для двух факторов с учетом их взаимодействия

Номер опыта	X 1	X 2	X 1 X2	y
1	+1	+1	+1	y 1
2	+1	-1	-1	y 2
3	-1	+1	-1	y 3
4	-1	-1	+1	y 4

1.2 Методы планирования эксперимента

До проведения эксперимента необходимо установить интервалы между значениями факторов, прежде всего независимых.

Однофакторный эксперимент бывает двух типов: последовательный рандомизированный.

При последовательном эксперименте уровень фактора изменяется скачкообразно (по шагам).

После каждого шага оценивается результат и принимается решение о ходе дальнейшей работы. Последовательный эксперимент целесообразен:

• если известно, что он невоспроизводим (при испытании образца на растяжение нагрузка меняется ступенчато , в образце после первого же приложения нагрузки происходят необратимые изменения) ;
• если особенности объекта можно выявить только при получении данных в регулярной последовательности (анализ стабильности технологического процесса обработки).

В рандомизированном эксперименте уровень фактора меняется случайным образом с целью сведения эффекта некоторого неучтенного неслучайного фактора к случайной ошибке.

Наиболее часто при описании технологических процессов ,и в первую очередь ,когда природа физических явлений ,их сопровождающих ,не ясна используют полиномиальные модели:

• полином первой степени ;
• полином второй степени

Соответственно этому планы экспериментов, цель которых- отыскание модели процесса в виде полинома первой или второй степени , называют планами второго и первого порядков.

На первом этапе планирования выбираются условия эксперимента :

• определяется область экспериментирования — границы изменения независимых факторов;
• устанавливается второй основной уровень исследуемых факторов;
• устанавливаются интервалы варьирования;
• определяется точность фиксирования факторов.

Основным уровнем называют центр исследуемой области изменения данного фактора(формула 3).

Обычно

метод эксперимент модель

(3)

где x i , 0 , Н, В -соответственно значения основного ,нижнего и верхнего уровней фактора xi .

Интервалом варьирования факторов Ii называется число (свое для каждого фактора) , прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание — нижний уровень фактора (формула 4):

(4)

Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так , чтобы верхний уровень соответствовал +1 ,а основной — нулю. Это можно сделать с помощью преобразований (формула 5):

, (5)

где xi -натуральное значение фактора ;

• x io — натуральное значение основного уровня ;
• Ii -интервал варьирования ;
• кодированное значение фактора.

Например, в эксперименте скорость резания изменяется от 40 м/мин до 160 м/мин. Тогда x i Н = 40 м/мин ; x i В = 160 м/мин ; x io = (40+160)/2=100 м/мин; Ii =60 м/мин ; =(40-100)/60 = -1 ; =0 ; =+1 .

Точность фиксирования уровней фактора считается высокой, если погрешность измерения более 1 %, средней — не более 5% . В технологических исследованиях погрешность измерения может иногда достигать 20% .

Применение корреляционно-регрессивного анализа правомерно и эффективно ,если :

• зависимая переменная y- случайная величина с нормальным законом распределения;
• дисперсия y не зависит от абсолютных значений y;
• значение x1 , x2 , … , xm изменяются с ошибками , пренебрежимо малыми по сравнению с y ;
• переменные x1 , x2 , … , xm линейно независимы ;
• процесс изменения y является стационарным и случайным ;
• экспериментальные данные получены из ряда независимых испытаний и образуют случайную выборку из данных генеральной совокупности.

Условия “а — г ” проверяются для активного и пассивного экспериментов ,условия “ д ” и ” е ” — для пассивного эксперимента.

Для вычисления коэффициентов управления регрессии используют метод наименьших квадрантов. Коэффициенты регрессии , найденные с помощью метода наименьшего квадрата ,обеспечивают минимум суммы квадрантов отклонений опытных данных yi от значений вычисленных по уравнению регрессии , т.е. минимум функций:

где

Для линейной однофакторной зависимости выполнено n опытов, в результате которых имеем систему :

(6)

Система (6) является переопределенной (n>2) и ,возможно, несовместимой . Найти неизвестные коэффициенты b0 и b1 можно из условия:

Если минимум Ф существует , то:

Выполнение этой процедуры дает возможность составить систему линейных уравнений , в которой число уравнений равно числу неизвестных . Окончательно (формулы 7,8):

(7)

(8)

1.3 Корреляционно-регрессивный анализ

Для получения математических моделей статистических объектов исследования , весьма характерных для технологических исследований ,зачастую эффективно применение корреляционно- регрессивного анализа . Методы корреляционно-регрессивного анализа применимы только для взаимосвязанных факторов.

На первом этапе корреляционно-регрессивного анализа оценивают степень взаимосвязи значений функции отклика y с одной или несколькими независимыми переменными x1 , x2 , … , xm . В первом случае используется коэффициент парной (ryx) , во втором — коэффициент множественной ( Ry,x1,x2,xm) корреляции (формула 9):

, (9)

где — средние арифметические значения y n ,x i в рассматриваемой выборке ;

• n — число измерений (объем выборки );
• Sx , Sy — среднее квадратическое отклонение x i и y .

При этом:

• ;
• если n>30 , то

если n>30 , то

Обозначив зависимую переменную цифрой 1 , а независимую(ые) — цифрами 2,3,4 …..m, получим обозначение коэффициентов парной корреляции r12 , r13 , … , r1m ; коэффициентов множественной корреляции между y и x1 , x2 , … , xm — R1,2,3,4,…,m .Тогда

(формула 10):

, (10)

где D — определитель , составляемый из всех коэффициентов парной корреляции.

где D11 — определитель , получаемый вычеркиванием из D первого слева столбца и верхней строки .

В случае трех переменных (формула 11):

, (11)

Значение r,y,x и Ry,x1,x2,xm находятся в пределах -1…+1 . Если они существенно отличаются от нуля ,то между исследуемыми факторами существует линейная корреляционная зависимость. В противном случае эта зависимость отсутствует или является существенно нелинейной. Если ryx или Ry,x1,x2,xm равны +1 или -1 ,то между исследуемыми факторами существует функциональная связь. Знаки ryx или Ry,x1,x2,xm говорят о прямом (знак “+”) или обратном (знак “-”) характере взаимосвязи между факторами .

Если корреляционные связи между факторами существуют ,то с помощью регрессивного анализа выбирают математическую модель ,наилучшим образом описывающую указанные взаимосвязи . Уравнение , по которому могут быть найдены числовые значения выборочных средних функций отклика (y) при независимых переменных (x1 , x2 , … , xm ), называется уравнением регрессии.

Заключение

В своей контрольной работе я рассмотрела моделирование технологического процесса.

Модели технологических процессов могут быть детерминированными и стохастическими. В детерминированных моделях процесс или действие объекта описывается аналитическими выражениями, чаще всего системами дифференциальных или алгебраических уравнений.

По числу переменных эксперименты разделяют на одно- и многофакторные : при однофакторных изменяют и регистрируют один фактор ,при многофакторных — несколько факторов (независимых переменных).

Объекты исследований в эксперименты разделяют на статистические и детерминированные, управляемые и неуправляемые.

Список использованной литературы

[Электронный ресурс]//URL: https://inzhpro.ru/kontrolnaya/modelirovanie-tehnologicheskih-protsessov/

1. Информационная поддержка жизненного цикла изделий машиностроения: принципы, системы и технологии CALS/ИПИ: учебное пособие / А.Н. Ковшов [и др.]. — М. : ACADEMIA, 2007.

2. Комплексная автоматизация в машиностроении: учебник / Н.М. Капустин, П.М. Кузнецов, Н.П. Дьяконова ; под ред. Н. М. Капустина. — М. : ACADEMIA, 2005.

3. САПР технологических процессов: учебник для студентов вузов / А.И. Кондаков ; М-во образования и науки РФ. — М. : Издательский центр «Академия», 2007.

4. Основы теории и проектирования САПР: учебник для студентов высших технических учебных заведений / И.П. Норенков, В.Б. Маничев ; Гос. комитет СССР по народному образованию . — М. : Высшая школа, 1990.

5. Основы автоматизированного проектирования: учебник для студентов высших учебных заведений/ И.П. Норенков. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.