Методы определения фрактальной размерности инженерных поверхностей
М.А. Измеров
удк 530.1
Рассмотрены методы оценки фрактальной размерности инженерных поверхностей. Приведены процедуры определения фрактальной размерности профиля и поверхности.
«Фрактал» в переводе означает «состоящий из фрагментов». Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 г. книги Бенуа Мандельброта [1].
В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в 1875-1925 гг. в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф).
Фрактал — это грубая или фрагментированная геометрическая форма, которая может быть разделена на части, каждая из которых (по крайней мере, приблизительно) представляет собой уменьшенную копию всего целого. Можно дать несколько определений фрактала: 1) расходящийся критерий: любая форма, обладающая таким необычным свойством, что когда вы измеряете длину, область, поверхность области или объем в дискретных единицах, то измеряемое значение изменяется по экспоненте на размер дискретной единицы; 2) определение Хаусдорфа: геометрическая фигура или естественный предмет, обладающий следующими характеристиками: а) часть имеет ту же структуру или форму, как и целое, за исключением того, что они при различном масштабе могут немного искажаться; б) форма сильно неправильна и фрагментированна и остается такой независимо от масштаба.
Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и образования реального мира: облака, горы, турбулентные течения, береговые линии, корни, ветки деревьев, легкие животных, — далеко не соответствующие простым геометрическим фигурам. Б. Мандельброт дает математическое описание фрактала как множества, размерность которого D строго превышает топологическую размерность. Так, для фрактальной кривой размерность лежит в диапазоне 1<D <2, а для поверхности — 2< D S <3.
Точка имеет топологическую размерность 0, линия — 1, поверхность — 2. Строгое определение топологической размерности формулируется так: топологическая размерность множества A равна нулю, если для любой точки множества A найдется сколь угодно малая окрестность, граница которой не пересекается с A ; топологическая размерность A равна n , если для любой точки этого множества найдется сколь угодно малая окрестность, граница которой пересекается с A по множеству размерности n -1, и, кроме того, n есть положительное наименьшее число, для которого это условие выполнено.
Использование методов подобия и анализа размерностей в компьютерном ...
... является основой дисциплины, известной как анализ размерностей (Баренблатт). Основой анализа размерностей является так называемая π-теорема. Грубо ... могут. Таким образом, множеству физических явлений может быть сопоставлено множество их характерных размерностей, в том ... комбинации, характеризующие конкретные физические взаимодействия в форме, отвлеченной от конкретных единиц. Для сохранения ...
Фрактальная размерность является очень информативным параметром, описывающим сложную геометрию поверхности деталей машин и механизмов. Наряду с существующими параметрами и показателями качества поверхности деталей фрактальная размерность является мощным средством при описании геометрии поверхностей с учётом их трёхмерной (пространственной) структуры, а также может широко использоваться при проектировании и создании трёхмерных моделей поверхности, имитационном моделировании течения рабочих сред в пористом слое, контактных задачах и решении многих других технических проблем.
Для определения фрактальной размерности используются различные аналитические и расчётные методы оценки. В данной статье рассмотрены три метода оценки фрактальной размерности применительно к обработке данных на ЭВМ и даны сравнительные оценки этих методов.
Исходными данными для определения фрактальной размерности является информация о поверхности виде совокупности высот вершин в специальном формате. В Московском государственном индустриальном университете под руководством В.В. Порошина была разработана методика оцифровки поверхности с учётом трёхмерной геометрии.
Данные после оцифровки записывались на диск персонального компьютера в формате map.
В процессе исследований была сформирована база данных по некоторым поверхностям с разными видами обработки.
При нахождении фрактальной размерности были использованы карты поверхностей с различными видами обработки. В работе [2] рассмотрен метод «размахов» Хёрста (H.Hurst и др., 1965).
Согласно Хёрсту, исходными данными служит ограниченный объём значений какого-либо параметра Х , измеренный через равные промежутки времени. В нашем случае вместо параметра Х используем информацию о профиле поверхности (профилограмму) в виде совокупности Z -координат, замеренных через равные расстояния, а именно через 5 мкм.
Методика определения фрактальной размерности заключается в следующем.
1. Выделяем первую трассу (профилограмму) оцифрованной поверхности.
2. Находим среднее выборочное значение высот профиля (параметра Х ) на исследуемой длине L :
3. Накопившееся отклонение высот профиля X (t) от среднего значения будет равно
4. Тогда выражение для размаха имеет вид
R(L)=max X(l,L)-min X(l,L).
5. Как показано Хёрстом, для многих рядов нормированный размах (размах, отнесённый к среднему квадратическому отклонению S ) хорошо описывается степенной зависимостью
где H — показатель (или коразмерность) Хёрста.
6. В работе [2] показано, что размерность фрактальной поверхности связана с коразмерностью следующим простым соотношением:
D = 2-H .
Таким образом, значения размерности профиля фрактальной поверхности лежат в пределах 1< D <2.
7. После определения фрактальной размерности профиля первой трассы повторяем пункты 2 — 6 для других трасс оцифрованной поверхности.
8. Обработав полученные результаты, находим по методу наименьших квадратов значение фрактальной размерности для исследуемой поверхности.
Измерение шероховатости поверхности
... измерения параметров шероховатости поверхность рассматривается в микроскоп. На изображении поверхности возникают интерференционные полосы, по искривлению которых судят о шероховатости. Метод предназначен для оценки параметров шероховатости чисто обработанных поверхностей ... для оценки шероховатости поверхности достигает более 40 наименований. Все основные определения, параметры шероховатости и их ...
Приведённую методику определения фрактальной размерности можно представить в виде блок-схемы (рис. 1) для реализации этого метода на ЭВМ.
Альтернативным методом определения фрактальной размерности самоподобного профиля поверхности является метод отрезков. Как и в первом методе, исходной информацией является оцифрованная карта поверхности. Метод заключается в определении предела
где n — число отрезков длинной r , укладывающихся на реализации профиля.
Рис. 1. Блок-схема метода расчёта фрактальной размерности по Хёрсту
Процедура определения фрактальной размерности по методу отрезков выполняется следующим образом.
1. Выделяем исходную длину профилограммы L =2r , которую приравниваем к единице.
2. Выбираем отрезок r<L /2, считая, что r = k•L /2, где k = 0,5;0,4; …;0,01.
3. Подсчитываем число окружностей n(r) радиусом r , с помощью которых измерялась длина выделенного участка профиля.
4. Построив график зависимости n(r) от r в логарифмических координатах, находим два кроссовера (переход от номинально гладкой поверхности к шероховатой и от шероховатости к субшероховатости).
В этих пределах (между двумя переходами) необходимо определить уравнение линии тренда линейной зависимости. Угловой коэффициент К линии тренда будет иметь отрицательное значение. Связь углового коэффициента с фрактальной размерностью профиля будет иметь вид D = 1 — 2·K , 1 < D < 2.
5. Повторяем пункты 1 — 4 для следующих трасс поверхности. Результатом будет число фрактальной размерности, полученное по методу наименьших квадратов из совокупности результатов, найденных в пунктах 1 — 4.
Процедуры анализа карт поверхности на ЭВМ этим методом усложняются. В простом случае их можно представить блок-схемой (рис. 2).
Рис. 2. Блок-схема определения фрактальной размерности по методу отрезков
Метод покрытий основан на тех же процедурах, что и метод отрезков. Существенным отличием метода покрытий является то, что отрезки не пересекают поверхность, а покрывают её, касаясь в возможных точках. Положение первого отрезка рассчитывается с учётом его центра тяжести и профиля изучаемой поверхности. Отрезок ориентируется на поверхности профиля, касаясь их в двух точках, без учёта силы трения. Положение следующих отрезков ориентируется в зависимости от конечной точки предыдущего отрезка и профилограммы поверхности. Таким образом, профиль поверхности покрывается числом n отрезков размера r . С уменьшением размера r отрезков они всё ближе и ближе повторяют контур поверхности. Результатом, как и в предыдущем методе, является зависимость от . По углу наклона линии тренда на построенном графике можно судить о фрактальной размерности профиля поверхности: D = 1 — 2K , 1 < D < 2. Повторив перечисленные процедуры для других трасс оцифрованной поверхности и обработав данные по методу наименьших квадратов, можно сказать, что D = 2 — 2Ks , 1 < D < 2, где Ks — среднее значение угла наклона линии тренда.
По описанным методам была разработана программа, позволяющая выполнить данные расчёты (рис. 3).
Рис. 3. Пример определения фрактальной размерности
С помощью представленной программы был проведен ряд экспериментов на поверхностях из базы данных, сравнительные результаты которых показаны в таблице.
Таблица
Определение фрактальной размерности
|
Карта поверхности |
Метод Хёрста |
Метод отрезков |
Метод покрытий |
|
|
Se — map |
1,1299 |
1,1522 |
1,1306 |
|
|
Ultra — map |
1,1313 |
1,1615 |
1,1426 |
|
|
Frezer — map |
1,1741 |
1,1160 |
1,1011 |
|
Для определения фрактальной размерности поверхности был разработан так называемый метод покрытия «рваной сеткой». Его смысл заключается в следующем.
1. Берём квадратную ячейку площадью е и покрываем ею участок поверхности, ориентируя её строго по координатным осям. Положение первой ячейки определяется довольно сложным алгоритмом с использованием данных о топографии поверхности и расчетом центра тяжести ячейки.
2. Положение следующих ячеек зависит от положения края предыдущей ячейки и данных о топографии поверхности под ними. Таким образом, покрывается участок поверхности длиной L вдоль оси Ox лентой, состоящей из ячеек со стороной .
3. Независимо от первой ленты по приведённому алгоритму строим рядом другую ленту, и так продолжается до покрытия всей поверхности.
4. Рассчитываем площадь поверхности
Где
S — истинная площадь поверхности; S 0 — проекция поверхности на плоскость (номинальная плоскость); е — площадь элементарной ячейки, покрывающей поверхность; D S — фрактальная размерность поверхности (2 < D S < 3).
фрактал геометрия топологический профиль
5. Уменьшаем площадь ячейки до размера стороны в и повторяем пункты 1 — 4. Тогда
Откуда
Если существует предел
, равный наклону (или угловому коэффициенту) К , то фрактальная размерность поверхности определяется выражением D s = 2 — 2
- K , 2 <
- D s <
- 3. Здесь угловой коэффициент К тоже имеет отрицательное значение. Его определение связано с нахождением точек в координатах ln S/S 0 — ln е при изменении площади ячеек, покрывающих поверхность. С помощью метода наименьших квадратов определяем угловой коэффициент К . Для оценки фрактальной размерности поверхности было разработано соответствующее программное обеспечение. Процедура метода покрытия поверхности (промежуточная стадия покрытия поверхности) понятна из рис. 4. На нем представлена поверхность (карта поверхности Se — map), покрытая по методу «рваной сетки». На рис. 5 представлено определение углового коэффициента с выводом площадей ячеек и поверхности.
Рис. 4. Покрытие поверхности ячейками
Рис. 5. Определение углового коэффициента и фрактальной размерности
Таким образом, применяя предложенные алгоритмы, можно найти фрактальную размерность поверхности, которая будет характеризовать топографические особенности её структуры (шероховатость) с учётом анизотропии. С помощью фрактальной размерности можно смоделировать шероховатую поверхность и использовать ее при решении инженерных задач.
Список литературы
[Электронный ресурс]//URL: https://inzhpro.ru/kontrolnaya/fraktalnaya-razmernost/
1. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы: [пер. с англ.] / Б. Мандельброт. — М.: Ин-т компьютерных исслед., 2002. — 656 с.
2. Федер, Е. Фракталы: [пер. с англ.] / Е. Федер. — М.: Мир, 1991. — 254 с.
Материал поступил в редколлегию 03.04.06.
